在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点 $A (2, 3)$ ， $B (4, 4)$ ，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．

（1）在图1中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ 的横、纵坐标之和等于点 $A$ 的横坐标；

（2）在图2中画一个 $ΔPAB$ ，使点 $P$ ， $B$ 横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．

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（1）求 $CD$ 的长．

（2）若点 $M$ 是线段 $AD$ 的中点，求 $\frac{EF}{DF}$ 的值．

（3）请问当 $DM$ 的长满足什么条件时，在线段 $DE$ 上恰好只有一点 $P$ ，使得 $∠ CPG = 60 °$ ？

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定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b)$ ， $B (c, d)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{a + c}{3}$ ， $y = \frac{b + d}{3}$ 那么称点 $T$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

例如： $A (- 1, 8)$ ， $B (4, - 2)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 4}{3} = 1$ ， $y = \frac{8 + (- 2)}{3} = 2$ 时，则点 $T (1, 2)$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

（1）已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (7, 7)$ ， $C (2, 4)$ ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点 $D (3, 0)$ ，点 $E (t, 2 t + 3)$ 是直线 $l$ 上任意一点，点 $T (x, y)$ 是点 $D$ ， $E$ 的融合点．

①试确定 $y$ 与 $x$ 的关系式．

②若直线 $ET$ 交 $x$ 轴于点 $H$ ．当 $ΔDTH$ 为直角三角形时，求点 $E$ 的坐标．

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