高中数学试题

在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域 $\left\{\begin{array}{c}x-2\le 0\\ x+y\ge 0\\ x-3y+4\ge 0\end{array}\right.$ 中的点在直线 $x+y﹣2=0$ 上的投影构成的线段记为 $\mathit{AB}$ ，则 $\left|\mathit{AB}\right|=$ （　　）

A．

$2\sqrt{2}$

B．

4

C．

$3\sqrt{2}$

D．

6

已知互相垂直的平面α，β交于直线 $l$ ，若直线m，n满足 $m\parallel \alpha$ ， $n\perp \beta$ ，则（　　）

A．

$m\parallel \mathit{l}$

B．

$m\parallel \mathit{n}$

C．

$\mathit{n}\perp \mathit{l}$

D．

$m\perp n$

已知集合 $P=\{x\in R|1\le x\le 3\}$ ， $Q=\{x\in R|x2\ge 4\}$ ，则 $P\cup （{\complement }_{R}Q）=$ （　　）

A．

$\left[2，3\right]\mathit{}$

B．

$\mathit{（﹣}2，3]\mathit{}$

C．

$\left[1，2\right)$

D．

$\mathit{（﹣}\infty \mathit{，﹣}2]\cup [1，+\infty ）$

设 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$是两个等差数列，记 $c_n=\mathit{max}\{b_1﹣a_{1}n，b_2﹣a_{2}n，\dots ，b_n﹣a_{n}n\}（n=1，2，3，\dots ）$，其中 $\mathit{max}\{x_1\mathit{}，x_2，\dots ，x_s\}$表示 $x_1\mathit{}，x_2，$， …， $x_s$这s个数中最大的数．

（1）若 $a_n=n$， $b_n=2n﹣1$，求 $c_1\mathit{}$， $c_2$， $c_3$的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$，存在正整数 $m$，当 $n\ge m$时， $\frac{c_n}{n}＞M$；或者存在正整数 $m$，使得 $c_m$ ， $c_{m+1}$ ， $c_{m+2}\mathit{}$， …是等差数列．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x\mathit{cosx}﹣x$ ．

（1）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(\mathit{0}\mathit{，}\mathit{f}\left(\mathit{0}\right)\right)$ 处的切线方程；

（2）求函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0，\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

已知抛物线 $C：y^2=2\mathit{px}$ 过点 $P\left(1，1\right)$ ．过点 $\left(0，\frac{1}{2}\right)$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各 $50$名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 $x$和 $y$的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 $y$的值小于 $60$的概率；

（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 $\xi$为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 $\xi$的分布列和数学期望 $E（\xi ）$；

（3）试判断这100名患者中服药者指标 $y$数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

如图，在四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$中，底面 $\mathit{ABCD}$为正方形，平面 $\mathit{PAD}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$，点M在线段PB上， $\mathit{PD}\parallel$平面 $\mathit{MAC}$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\sqrt{6}$ ， $\mathit{AB}=4$．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角 $B﹣\mathit{PD}﹣A$的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=60°$ ， $c=\frac{3}{7}a$ ．

（1）求 $\mathit{sinC}$ 的值；

（2）若 $a=7$ ，求 $△\mathit{ABC}$ 的面积．

三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 $A_i$的横、纵坐标分别为第 $i$名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 $B_i$的横、纵坐标分别为第 $i$名工人下午的工作时间和加工的零件数， $i=1，2，3$．

①记 $Q_i$为第 $i$名工人在这一天中加工的零件总数，则 $Q_1$ ， $Q_2$， $Q_3$中最大的是________．

②记 $p_i$为第 $i$名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 $p_1\mathit{}$， $p_2$ ， $p_3$中最大的是________．

能够说明“设a，b，c是任意实数．若 $a＞b＞c$，则 $a+b＞c$”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，角 $\alpha$与角 $\beta$均以 $\mathit{Ox}$为始边，它们的终边关于 $y$轴对称，若 $\mathit{sin\alpha }=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathit{cos}（\alpha ﹣\beta ）=$________．

在极坐标系中，点A在圆 ${\rho }^2﹣2\mathit{\rho cos\theta }﹣4\mathit{\rho sin\theta }+4=0$上，点P的坐标为 $（1，0）$，则 $\left|\mathit{AP}\right|$的最小值为________．

若等差数列 $\left\{a_n\right\}$和等比数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_1=b_1=﹣1$， $a_4=b_4=8$，则 $\frac{a_2}{b_2}$ =________．

若双曲线 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m=$________．