高中数学试题

根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 $3^{361}\mathit{}$ ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 ${10}^{80}\mathit{}$ ， 则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（　　）

（参考数据： $\mathit{lg}3\approx 0.48$ ）

A．

${10}^{33}$

B．

${10}^{53}$

C．

${10}^{73}$

D．

${10}^{93}$

某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　）

A．

$3\sqrt{2}$

B．

$2\sqrt{3}$

C．

$2\sqrt{2}$

D．

2

设 $\overrightarrow{m}$ ， $\overrightarrow{n}$ 为非零向量，则"存在负数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{m}=\lambda \overrightarrow{n}$ "是 " $\overrightarrow{m}·\overrightarrow{n}<0$ "的（　　）

A．

充分而不必要条件

B．

必要而不充分条件

C．

充分必要条件

D．

既不充分也不必要条件

已知函数 $f\left(x\right)=3^x﹣\left(\frac{1}{3}\right){}^x$ ， 则 $f\left(x\right)$ （　　）

A．	是奇函数，且在R上是增函数	B．	是偶函数，且在R上是增函数
C．	是奇函数，且在R上是减函数	D．	是偶函数，且在R上是减函数

若 $x，y$ 满足 $\{\begin{array}{c}x\le 3\\ x+y\ge 2\\ y\le x\end{array}$ ，则 $x+2y$ 的最大值为（　　）

A．

1

B．

3

C．

5

D．

9

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．

2

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$\frac{5}{3}$

D．

$\frac{8}{5}$

若复数 $\left(1﹣i\right)\left(a+i\right)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）

A．

$\mathit{（﹣}\infty ，1）\mathit{}$

B．

$\left(\mathit{﹣}\infty \mathit{，}\mathit{﹣}1\right)$

C．

$（1，+\infty ）\mathit{}$

D．

$\left(\mathit{﹣}1，+\infty \right)$

若集合 $A=\left\{x\right|﹣2＜x＜1\}$ ， $B=\left\{x\right|x\mathit{＜﹣}1或x＞3\}$ ，则 $A\cap B=$ （　　）

A．

$\left\{x\right|﹣2＜x\mathit{＜﹣}1\}\mathit{}$

B．

$\left\{x\right|﹣2＜x＜3\}\mathit{}$

C．

$\left\{x\right|﹣1＜x＜1\}$

D．

$\left\{x\right|1＜x＜3\}$

给定无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ ，若无穷数列{b _n}满足：对任意 $n\in N*$ ，都有 $|b_n-a_n|\le 1$ ，则称 $\left\{b_n\right\}与\left\{a_n\right\}$ "接近"。

（1）设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_n=a_{n+1}+1$ ， $n\in N*$ ，判断数列 $\left\{b_n\right\}$ 是否与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，并说明理由；

（2）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前四项为： $a_1$ =1， $a_2$ =2， $a_3$ =4， $a_4$ =8， $\left\{b_n\right\}$ 是一个与 $\left\{a_n\right\}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b _i， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；

（3）已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b _n}满足：{b _n}与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b ₂₀₁-b ₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。

设常数 $t>2$ ，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线 $l$ ： $x=t$ ，曲线 $\Gamma$ ： $y²=8x\left(0\le x\le t，y\ge 0\right)$ ， $l$ 与x轴交于点A，与 $\Gamma$ 交于点B，P、Q分别是曲线 $\Gamma$ 与线段AB上的动点。

（1）用t表示点B到点F的距离；

（2）设t=3， $\mid \mathit{FQ}\mid =2$ ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 $\Gamma$ 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x\%(0<x<100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}30,0<x\le 30，\\ 2x+\frac{1800}{x}-90,30<x<100\end{array}$ （单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间 $g\left(x\right)$ 的表达式；讨论 $g\left(x\right)$ 的单调性，并说明其实际意义。

设常数 $a\in R$ ，函数 $f\left(x\right)=\mathit{asin}2x+2\mathit{co}{s}^{2}x$

（1）若 $f\left(x\right)$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

（2）若 $f〔\frac{\pi }{4}〕$ $=\sqrt{3}+1$ ，求方程 $f（x）=1-\sqrt{2}$ 在区间 $\left[-\pi ，\pi \right]$ 上的解。

已知圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，半径为 $2$。

（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设 $PO=4$， $OA，OB$是底面半径，且 $\angle AOB=90°$ ，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.

设D是含数1的有限实数集， $f\left(x\right)$ 是定义在D上的函数，若 $f\left(x\right)$ 的图像绕原点逆时针旋转 $\frac{\text{π}}{6}$ 后与原图像重合，则在以下各项中， $f\left(1\right)$ 的可能取值只能是（ ）

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

D．

0

《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 $A{A}_1$ 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 $A{A}_1$ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）

A．

4

B．

8

C．

12

D．

16