(本大题13分)如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于两点.的最大值是,的最小值是,满足.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段的中点为,的垂直平分线与轴和轴分别交于两点,是坐标原点.记的面积为,的面积为,求的取值范围.
已知:矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为: ,点在边所在直线上.
(1)求矩形外接圆的方程。
(2)是圆的内接三角形,其重心的坐标是,求直线的方程 .
(本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)动直线与椭圆相切,点是直线上的两点,且. 求四边形面积;
(Ⅲ)过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点和,设直线与的斜率分别为、,若,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,说明理由.
(本小题满分14分)椭圆过点,离心率为,左右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积为时,求的方程.
(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:
日销售量 |
1 |
1.5 |
2 |
天数 |
10 |
25 |
15 |
频率 |
0.2 |
a |
b |
若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和数学期望.
(本小题满分16分)设函数f(x)=xsinx(x∈R),
(Ⅰ)证明f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,其中k为整数;
(Ⅱ)设x0为f(x)的一个极值点,证明 ;
(提示)
(Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a1,a2, ,an, ,证明.
设和是函数的两个极值点,其中,.
(1)若曲线在点处的切线垂直于轴,求实数的值;
(2)求的取值范围;
(3)若,求的最大值(是自然对数的底数).
函数.
(1)函数在点处的切线与直线垂直,求a的值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)不等式在区间上恒成立,求实数a的取值范围.
【原创】已知函数,(a、b为常数).
(1)求函数在点(1,)处的切线方程;
(2)当时,设,若函数在区间上存在极值点,求实数b的取值范围;
(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为.
(1)求a,b的值.
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.
(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.
(本小题满分12分)已知椭圆,其中是椭圆的右焦点,焦距为2,直线与椭圆交于点,点的中点横坐标为,且(其中).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求实数的值.
【改编】设函数,
(Ⅰ)若时,求曲线单调区间;
(Ⅱ)当时,,求实数的取值范围.
(本小题14分)如图,已知某椭圆的焦点是,过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且,椭圆上不同的两点满足条件:、、成等差数列.
(1)求该椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为,求m的取值范围.
已知数列的前n项和为,设数列满足.
(1)若数列为等差数列,且,求数列的通项公式;
(2)若,,且数列,都是以2为公比的等比数列,求满足不等式的所有正整数n的集合.
(本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数),曲线在处的切线与直线互相垂直.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若对任意, 恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设 , .问:是否存在正常数,对任意给定的正整数,都有成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由.