高中数学试题

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{PA}\perp \mathrm{平面}ABCD$ ，底部 ABCD为菱形， E为 CD的中点．

（Ⅰ）求证： $\mathit{BD}\perp \mathrm{平面}PAC$ ；

（Ⅱ）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，求证：  $\mathit{平面}\mathit{PAB}\perp \mathit{平面}\mathit{PAE}$ ；

（Ⅲ）棱 PB上是否存在点 F，使得 $\mathit{CF}\parallel \mathit{平面}\mathit{PAE}$ ？说明理由．

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额 支付方式	不大于 $2000$ 元	大于 $2000$ 元
仅使用A	27人	3人
仅使用B	24人	1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于 $2000$ 元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于 $2000$ 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于 $2000$ 元的人数有变化？说明理由．

设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列， $a_1=–10$ ，且 $a_2+10$ ， $a_3+8$ ， $a_4+6$ 成等比数列．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n项和为 $S_n$ ，求 $S_n$ 的最小值．

在 $△ABC$ 中， $a=3$ ， $\mathit{b–c}=2$ ， $\mathit{cosB}=-\frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求 b， c的值；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}（B+C）$ 的值．

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付 $x$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当 $x=10$ 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 $x$ 的最大值为__________．

已知 l， m是平面 $\alpha$ 外的两条不同直线．给出下列三个论断：

① $l\perp m$ ；

② $m\parallel \alpha$ ；

③ $l\perp \alpha$ ．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ．则以 $F$ 为圆心，且与 $l$ 相切的圆的方程为__________．

若 x， y满足 $\left\{\begin{array}{c}x\le 2,\\ y\ge -1,\\ 4x-3y+1\ge 0,\end{array}\right.$ 则 $y-x$ 的最小值为__________，最大值为__________．

已知向量 $a=\left(–4，3\right)$ ， $b=\left(6，m\right)$ ，且 $a\perp b$ ，则 $m=$ __________．

如图， A， B是半径为2的圆周上的定点， P为圆周上的动点， $\angle \mathit{APB}$ 是锐角，大小为 $\beta$ .图中阴影区域的面积的最大值为（  ）

A．

$4\beta +4\mathit{cos\beta }$

B．

$4\beta +4\mathit{sin\beta }$

C．

$2\beta +2\mathit{cos\beta }$

D．

$2\beta +2\mathit{sin\beta }$

在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m_2–m_1=\frac{5}{2}\mathit{lg}\frac{E_1}{E_2}$ ，其中星等为 $m_k$ 的星的亮度为 $E_k\left(k=1,2\right)$ ．已知太阳的星等是 $–26.7$ ，天狼星的星等是 $–1.45$ ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（  ）

A．

${10}^{10.1}$

B．

$10.1$

C．

$\mathit{lg}10.1$

D．

$10^{-10.1}$

设函数 $f（x）=\mathit{cosx}+\mathit{bsinx}\mathit{（}b\mathit{为常数}\mathit{）}$ ，则" $b=0$ "是" $f\left(x\right)$ 为偶函数"的（  ）

A．	充分而不必要条件	B．	必要而不充分条件
C．	充分必要条件	D．	既不充分也不必要条件

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1\left(a>0\right)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$ ，则 $a=$ （ ）

A．

$\sqrt{6}$

B．

4

C．

2

D．

$\frac{1}{2}$

执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（   ）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4