2022年中考数学专题：锐角三角函数（一）

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线交于点 $O$ ．已知 $\mathit{AB}=m$ ， $\angle \mathit{BAC}=\angle \alpha$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

如图，在建筑物 $\mathit{AB}$ 左侧距楼底 $B$ 点水平距离150米的 $C$ 处有一山坡，斜坡 $\mathit{CD}$ 的坡度（或坡比）为 $i=1:2.4$ ，坡顶 $D$ 到 $\mathit{BC}$ 的垂直距离 $\mathit{DE}=50$ 米（点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一平面内），在点 $D$ 处测得建筑物顶 $A$ 点的仰角为 $50°$ ，则建筑物 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ； $\cos 50°\approx 0.64$ ； $\tan 50°\approx 1.19)$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{AC}=6\sqrt{3}$ ， $\mathit{BD}=6$ ，点 $P$ 是 $\mathit{AC}$ 上一动点，点 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点，则 $\mathit{PD}+\mathit{PE}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

如图，将长、宽分别为 $12\mathit{cm}$ ， $3\mathit{cm}$ 的长方形纸片分别沿 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 折叠，点 $M$ ， $N$ 恰好重合于点 $P$ ．若 $\angle \alpha =60°$ ，则折叠后的图案（阴影部分）面积为 $($ 　　 $)$

在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ，则 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BD}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=4$ ， $\cos C=\frac{1}{4}$ ，则 $\sin B$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{DE}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{DE}$ 的中点，连接 $\mathit{OF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CF}$ ，若 $\mathit{CE}=4$ ， $\mathit{OF}=6$ ．则下列结论：① $\mathit{GF}=2$ ；② $\mathit{OD}=\sqrt{2}\mathit{OG}$ ；③ $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{1}{2}$ ；④ $\angle \mathit{ODF}=\angle \mathit{OCF}=90°$ ；⑤点 $D$ 到 $\mathit{CF}$ 的距离为 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ ．其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

如图，点 $O$ 为正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 对角线 $\mathit{FD}$ 上一点， $S_{\mathit{\Delta AFO}}=8$ ， $S_{\mathit{\Delta CDO}}=2$ ，则 $S_{\mathit{正六边形}\mathit{ABCDEF}}$ 的值是 $($ 　　 $)$

如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 $\mathit{MA}$ 和 $\mathit{ND}$ ．甲在山脚点 $C$ 处测得通信基站顶端 $M$ 的仰角为 $60°$ ，测得点 $C$ 距离通信基站 $\mathit{MA}$ 的水平距离 $\mathit{CB}$ 为 $30m$ ；乙在另一座山脚点 $F$ 处测得点 $F$ 距离通信基站 $\mathit{ND}$ 的水平距离 $\mathit{FE}$ 为 $50m$ ，测得山坡 $\mathit{DF}$ 的坡度 $i=1:1.25$ ．若 $\mathit{ND}=\frac{5}{8}\mathit{DE}$ ，点 $C$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 $M$ 与顶端 $N$ 的高度差为（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73\left)\right($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{\Delta DBC}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{BC}$ 对称，连接 $\mathit{AD}$ ，与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $C$ ， $\mathit{AD}$ 相交于点 $E$ ，若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{CB}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内．若四边形 $\mathit{CDFE}$ 是边长为1的正方形，则 $\sin \angle \mathit{FBA}=$ 　　．

太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $\mathit{AB}$ 的坡度 $i=5:12(i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米 $/$ 秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $\mathit{BC}$ 为 　　米．

在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\angle C=90°$，$\mathit{AB}=5$，$\mathit{BC}=4$，则$\sin A=$　　．

由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 $\mathit{AB}$ 的长应是 　　．

某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头 $C$ 测一段水平雪道一端 $A$ 处的俯角为 $50°$ ，另一端 $B$ 处的俯角为 $45°$ ，若无人机镜头 $C$ 处的高度 $\mathit{CD}$ 为238米，点 $A$ ， $D$ ， $B$ 在同一直线上，则雪道 $\mathit{AB}$ 的长度为 　　米．（结果保留整数，参考数据 $\sin 50°\approx 0.77$ ， $\cos 50°\approx 0.64$ ， $\tan 50°\approx 1.19)$

如图，在边长为 $6\sqrt{3}$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 中，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，其中点 $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{CF}$ 上的动点．若以 $M$ ， $N$ ， $D$ 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $E$ ．若 $\sin \angle \mathit{ADE}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

如图， $\mathit{AB}$ 是半圆的直径， $C$ 为半圆的中点， $A(2,0)$ ， $B(0,1)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $C$ ，则 $k$ 的值为 　　．

高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 表示一个"鱼骨"， $\mathit{AB}$ 平行于车辆前行方向， $\mathit{BE}\perp \mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\alpha$ ，过 $B$ 作 $\mathit{AD}$ 的垂线，垂足为 $A\text{'}(A$ 点的视觉错觉点），若 $\sin \alpha =0.05$ ， $\mathit{AB}=300\mathit{mm}$ ，则 $\mathit{AA}\text{'}=$ 　　 $\mathit{mm}$ ．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的动点，点 $E$不与 $A$， $B$重合，且 $\mathit{EF}=\mathit{AB}$， $G$是五边形 $\mathit{AEFCD}$内满足 $\mathit{GE}=\mathit{GF}$且 $\angle \mathit{EGF}=90°$的点．现给出以下结论：

① $\angle \mathit{GEB}$与 $\angle \mathit{GFB}$一定互补；

②点 $G$到边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的距离一定相等；

③点 $G$到边 $\mathit{AD}$， $\mathit{DC}$的距离可能相等；

④点 $G$到边 $\mathit{AB}$的距离的最大值为 $2\sqrt{2}$．

其中正确的是 　     　．（写出所有正确结论的序号）

如图，一艘货船在灯塔 $C$ 的正南方向，距离灯塔257海里的 $A$ 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔 $C$ 的南偏东 $40°$ 方向上，同时位于 $A$ 处的北偏东 $60°$ 方向上的 $B$ 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求 $\mathit{AB}$ 的长（结果取整数）参考数据： $\tan 40°\approx 0.84$ ， $\sqrt{3}$ 取1.73．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

问题提出

（1）如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=45°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，且 $\mathit{DF}=5$ ，求四边形 $\mathit{ABFE}$ 的面积．（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ ．按设计要求，要在五边形河畔公园 $\mathit{ABCDE}$ 内挖一个四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ，使点 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{AB}$ 上，且满足 $\mathit{BO}=2\mathit{AN}=2\mathit{CP}$ ， $\mathit{AM}=\mathit{OC}$ ．已知五边形 $\mathit{ABCDE}$ 中， $\angle A=\angle B=\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=800m$ ， $\mathit{BC}=1200m$ ， $\mathit{CD}=600m$ ， $\mathit{AE}=900m$ ．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $\mathit{OPMN}$ ？若存在，求四边形 $\mathit{OPMN}$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．

今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在 $A$ 处测得国旗 $D$ 处的仰角为 $45°$ ，站在同一队列 $B$ 处的小刚测得国旗 $C$ 处的仰角为 $23°$ ，已知小明目高 $\mathit{AE}=1.4$ 米，距旗杆 $\mathit{CG}$ 的距离为15.8米，小刚目高 $\mathit{BF}=1.8$ 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 $\mathit{CD}$ 是多少米？（最后结果保留一位小数）

（参考数据： $\sin 23°\approx 0.3907$ ， $\cos 23°\approx 0.9205$ ， $\tan 23°\approx 0.4245)$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度 $\mathit{AB}$，在 $C$处测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，再向白塔方向前进15米到达 $D$处，又测得塔顶 $A$的仰角为 $60°$，点 $B$、 $D$、 $C$在同一水平线上，求白塔的高度 $\mathit{AB}$． $(\sqrt{3}\approx 1.7$，精确到1米）

我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $\mathit{AB}$ 摆成如图1所示．已知 $\mathit{AB}=4.8m$ ，鱼竿尾端 $A$ 离岸边 $0.4m$ ，即 $\mathit{AD}=0.4m$ ．海面与地面 $\mathit{AD}$ 平行且相距 $1.2m$ ，即 $\mathit{DH}=1.2m$ ．

（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $\mathit{BC}$ 与海面 $\mathit{HC}$ 的夹角 $\angle \mathit{BCH}=37°$ ，海面下方的鱼线 $\mathit{CO}$ 与海面 $\mathit{HC}$ 垂直，鱼竿 $\mathit{AB}$ 与地面 $\mathit{AD}$ 的夹角 $\angle \mathit{BAD}=22°$ ．求点 $O$ 到岸边 $\mathit{DH}$ 的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $\angle \mathit{BAD}=53°$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $\mathit{BO}=5.46m$ ，点 $O$ 恰好位于海面．求点 $O$ 到岸边 $\mathit{DH}$ 的距离．

（参考数据： $\sin 37°=\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37°=\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22°\approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22°\approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22°\approx \frac{2}{5})$

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$