初中数学

在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图①,两个固定长度的“连杆” AP , BP 的连接点 P O 上,当点 P O 上转动时,带动点 A , B 分别在射线 OM , ON 上滑动, OM ON .当 AP O 相切时,点 B 恰好落在 O 上,如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

(1)求证: PAO = 2 PBO

(2)若 O 的半径为 5 , AP = 20 3 ,求 BP 的长.

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  • 更新:2023-05-06
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如图,已知 O 是四边形 ABCD 的外接圆,直线 AD , BC 相交于点 E , F 是弦 CD 的中点,延长直线 EF 交弦 AB 于点 G ,求证:

(1) ED EA = EC EB

(2) AG : GB = A E 2 : B E 2 .

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如图,已知正方形 ABCD ,点 E BC 边上一点,将 ABE 沿直线 AE 折叠,点 B 落在 F 处,连接 BF 并延长,与 DAF 的平分线相交于点 H ,与 AE , CD 分别相交于点 G M ,连接 HC .

(1)求证: AG = GH ;

(2)若 AB = 3 , BE = 1 ,求点 D 到直线 BH 的距离;

(3)当点 E BC 边上(端点除外)运动时, BHC 的大小是否变化?为什么?

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如图所示,在 ABC 中, C = 90 , BAC = 30 , BC = 1 , D BC 边上一点, tan ADC 是方程 3 x 2 + 1 x 2 - 5 x + 1 x = 2 的一个较大的根,求 CD 的长

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n 个单位小立方体叠放在桌面上,所得几何体的主视图和俯视图均如图所示.那么 n 的最大值与最小值的积是_____.

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如左图是一台手机支架,右图是其侧面示意图, AB , BC 可分别绕点 A , B 转动,测量知 BC = 8 cm , AB = 16 cm .当 AB , BC 转动到 BAE = 60 , ABC = 50 时,点 C AE 的距离为_____ cm .(结果保留小数点后一位,参考数据: sin 70 0 . 94 , 3 1 . 73

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如图,正方形 ABCD 中, AB = 1 ,连接 AC , ACD 的平分线交 AD 于点 E ,在 AB 上截取 AF = DE ,连接 DF ,分别交 CE , CA 于点 G , H ,点 P 是线段 GC 上的动点, PQ AC 于点 Q ,连接 PH .下列结论:① CE DF ;② DE + DC = AC ;③ EA = 3 AH ;④ PH + PQ 的最小值是 2 2 .其中所有正确结论的序号是_____.

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如图,抛物线 y = a x 2 + bx + 3 a 0 x 轴交于点 A 1 , 0 和点 B - 3 , 0 ,与 y 轴交于点 C ,连接 BC ,与抛物线的对称轴交于点 E ,顶点为点 D .点 P 是对称轴左侧抛物线上的一个动点,点 Q 在射线 ED 上,若以点 P , Q , E 为顶点的三角形与 BOC 相似,则点 P 的坐标为_____.

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已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 3 , 4 , M 是抛物线 y = a x 2 + bx + 2 a 0 对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当 b a 的值确定时,抛物线的对称轴上能使 AOM 为直角三角形的点 M 的个数也随之确定,若抛物线 y = a x 2 + bx + 2 a 0 的对称轴上存在 3 个不同的点 M ,使 AOM 为直角三角形,则 b a 的值是_____.

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如图, ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sin A 的值为_____.

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如图,已知动点 A 在函数 y = 4 x ( x > 0 ) 的图象上, AB x 轴于点 B AC y 轴于点 C ,延长 CA 交以 A 为圆心 AB 长为半径的圆弧于点 E ,延长 BA 交以 A 为圆心 AC 长为半径的圆弧于点 F ,直线 EF 分别交 x 轴, y 轴于点 M , N ,当 NF = 4 EM 时,图中阴影部分的面积等于_____.

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如图,射线 AM , BN 都垂直于线段 AB ,点 E AM 上一点,过点 A BE 的垂线 AC 分别交 BE , BN 于点 F , C ,过点 C AM 的垂线 CD ,垂足为 D ,若 CD = CF ,则 AE AD 的值为_____.

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如图,点 A , B 是反比例函数 y = k x k 0 的图象上的两点,延长线段 AB y 轴于点 C ,且点 B 为线段 AC 中点,过点 A AD x 轴于点 D ,点 E 为线段 OD 的三等分点,且 OE < DE .连接 AE , BE ,若 S ABE = 7 ,则 k 的值为(

A.

- 12

B.

- 10

C.

- 9

D.

- 6

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在一次义务植树活动中,同学们经过两条宽度都是 1 的公路,它们的交角为 α ,则它们公共部分(图中阴影部分)的面积为(

A.

1 sin α

B.

1 cos α

C.

sin α

D.

1

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如图, AB O 的直径,弦 AC , BD 相交于点 E ,则 CD AB =

A.

tan AED

B.

1 tan AED

C.

sin AED

D.

cos AED

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