初中数学试题

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $\mathit{AP},\mathit{BP}$的连接点 $P$在 $\odot O$上，当点 $P$在 $\odot O$上转动时，带动点 $A,B$分别在射线 $\mathit{OM},\mathit{ON}$上滑动， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$.当 $\mathit{AP}$与 $\odot O$相切时，点 $B$恰好落在 $\odot O$上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $\angle \mathit{PAO}=2\angle \mathit{PBO}$；

（2）若 $\odot O$的半径为 $5,\mathit{AP}=\frac{20}{3}$，求 $\mathit{BP}$的长.

如图，已知 $\odot O$是四边形 $\mathit{ABCD}$的外接圆，直线 $\mathit{AD},\mathit{BC}$相交于点 $E,F$是弦 $\mathit{CD}$的中点，延长直线 $\mathit{EF}$交弦 $\mathit{AB}$于点 $G$，求证:

（1） $\mathit{ED}\cdot \mathit{EA}=\mathit{EC}\cdot \mathit{EB}$；

（2） $\mathit{AG}:\mathit{GB}=A{E}^2:B{E}^2$.

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，将 $△\mathit{ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$落在 $F$处，连接 $\mathit{BF}$并延长，与 $\angle \mathit{DAF}$的平分线相交于点 $H$，与 $\mathit{AE},\mathit{CD}$分别相交于点 $G$， $M$，连接 $\mathit{HC}$.

（1）求证: $\mathit{AG}=\mathit{GH};$

（2）若 $\mathit{AB}=3,\mathit{BE}=1$，求点 $D$到直线 $\mathit{BH}$的距离；

（3）当点 $E$在 $\mathit{BC}$边上（端点除外）运动时， $\angle \mathit{BHC}$的大小是否变化?为什么?

如图所示，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle C={90}^{\circ },\angle \mathit{BAC}={30}^{\circ },\mathit{BC}=1,D$为 $\mathit{BC}$边上一点， $\text{tan}\angle \mathit{ADC}$是方程 $3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)=2$的一个较大的根，求 $\mathit{CD}$的长

$n$个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示.那么 $n$的最大值与最小值的积是＿＿＿＿＿．

如左图是一台手机支架，右图是其侧面示意图， $\mathit{AB},\mathit{BC}$可分别绕点 $A,B$转动，测量知 $\mathit{BC}=8\text{cm},\mathit{AB}=16\text{cm}$.当 $\mathit{AB},\mathit{BC}$转动到 $\angle \mathit{BAE}={60}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={50}^{\circ }$时，点 $C$到 $\mathit{AE}$的距离为＿＿＿＿＿ $\text{cm}$.（结果保留小数点后一位，参考数据: $\text{sin}{70}^{\circ }\approx 0.94,\sqrt{3}\approx 1.73$）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC},\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE},\mathit{CA}$于点 $G,H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$.下列结论:① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3\left(a\ne 0\right)$与 $x$轴交于点 $A\left(1,0\right)$和点 $B\left(-3,0\right)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$.点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P,Q,E$为顶点的三角形与 $△\mathit{BOC}$相似，则点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿．

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $\left(3,4\right),M$是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2\left(a\ne 0\right)$对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当 $\frac{b}{a}$的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $△\mathit{AOM}$为直角三角形的点 $M$的个数也随之确定，若抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2\left(a\ne 0\right)$的对称轴上存在 $3$个不同的点 $M$，使 $△\mathit{AOM}$为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$的值是＿＿＿＿＿．

如图， $△\mathit{ABC}$的顶点是正方形网格的格点，则 $\text{sin}A$的值为＿＿＿＿＿．

如图，已知动点 $A$在函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象上， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{AC}\perp y$轴于点 $C$，延长 $\mathit{CA}$交以 $A$为圆心 $\mathit{AB}$长为半径的圆弧于点 $E$，延长 $\mathit{BA}$交以 $A$为圆心 $\mathit{AC}$长为半径的圆弧于点 $F$，直线 $\mathit{EF}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $M,N$，当 $\mathit{NF}=4\mathit{EM}$时，图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿．

如图，射线 $\mathit{AM},\mathit{BN}$都垂直于线段 $\mathit{AB}$，点 $E$为 $\mathit{AM}$上一点，过点 $A$作 $\mathit{BE}$的垂线 $\mathit{AC}$分别交 $\mathit{BE},\mathit{BN}$于点 $F,C$，过点 $C$作 $\mathit{AM}$的垂线 $\mathit{CD}$，垂足为 $D$，若 $\mathit{CD}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AD}}$的值为＿＿＿＿＿．

如图，点 $A,B$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}\left(k\ne 0\right)$的图象上的两点，延长线段 $\mathit{AB}$交 $y$轴于点 $C$，且点 $B$为线段 $\mathit{AC}$中点，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴于点 $D$，点 $E$为线段 $\mathit{OD}$的三等分点，且 $\mathit{OE}<\mathit{DE}$.连接 $\mathit{AE},\mathit{BE}$，若 $S_{△\mathit{ABE}}=7$，则 $k$的值为（ ）

A．

$-12$

B．

$-10$

C．

$-9$

D．

$-6$

在一次义务植树活动中，同学们经过两条宽度都是 $1$的公路，它们的交角为 $\alpha$，则它们公共部分（图中阴影部分）的面积为（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{1}{\text{sin}\alpha }$

B．

$\mathrm{}\frac{1}{\text{cos}\alpha }$

C．

$\text{sin}\alpha$

D．

$1$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{AC},\mathit{BD}$相交于点 $E$，则 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AB}}=$（ ）

A．

$\text{tan}\angle \mathit{AED}$

B．

$\mathrm{}\frac{1}{\text{tan}\angle \mathit{AED}}$

C．

$\text{sin}\angle \mathit{AED}$

D．

$\text{cos}\angle \mathit{AED}$