初中数学解答题

为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为 $10$分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为 $10$分的人数；

（2）请确定下表中 $a，b，c$的值（只要求写出求 $a$的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$轴交于点 $A$，点 $A$关于 $y$轴的对称点为 $A\prime$，经过点 $A\prime$和 $y$轴上的点 $B（0，2）$的直线设为 $y＝kx+b$．

（1）求点 $A\prime$的坐标；

（2）确定直线 $A\prime B$对应的函数表达式．

如图，在 $Rt△ABC$中， $\angle B＝90°$， $CD\parallel AB$， $DE\perp AC$于点 $E$，且 $CE＝AB$．求证： $△CED≌△ABC$．

计算： $（-2022{）}^0+6\times （-\frac{1}{2}）$ $+\sqrt{8}÷\sqrt{2}$．

如图，将矩形纸片 $ABCD$折叠，使点 $B$与点 $D$重合，点 $A$落在点 $P$处，折痕为 $EF$．

（1）求证： $△PDE≌△CDF$；

（2）若 $CD＝4cm$， $EF＝5cm$，求 $BC$的长．

因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 $330km$，货车行驶时的速度是 $60km/h$．两车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数图象如图．

（1）求出 $a$的值；

（2）求轿车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数表达式；

（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

如图，在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A，B，C$均在格点上，试按要求画出相应格点图形．

（1）如图1，作一条线段，使它是 $AB$向右平移一格后的图形；

（2）如图2，作一个轴对称图形，使 $AB$和 $AC$是它的两条边；

（3）如图3，作一个与 $△ABC$相似的三角形，相似比不等于 $1$．

某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间 $t$（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：

（1）求所抽取的学生总人数；

（2）若该校共有学生 $1200$人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足 $3\le t＜4$的人数；

（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．

先化简，再求值： $（1+x）（1﹣x）+x（x+2）$，其中 $x=\frac{1}{2}$．

计算： $\sqrt{9}-（﹣2022{）}^0+2^{﹣1}$．

如图，平面直角坐标系中，线段 $AB$的端点为 $A（﹣8，19），B（6，5）$．

（1）求 $AB$所在直线的解析式；

（2）某同学设计了一个动画：

在函数 $y＝mx+n（m\ne 0，y\ge 0）$中，分别输入 $m$和 $n$的值，使得到射线 $CD$，其中 $C（c，0）$．当 $c＝2$时，会从C处弹出一个光点 $P$，并沿 $CD$飞行；当 $c\ne 2$时，只发出射线而无光点弹出．

①若有光点 $P$弹出，试推算 $m，n$应满足的数量关系；

②当有光点 $P$弹出，并击中线段 $AB$上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 $AB$就会发光．求此时整数 $m$的个数．

如图，某水渠的横断面是以 $AB$为直径的半圆 $O$，其中水面截线 $MN\parallel AB$．嘉琪在 $A$处测得垂直站立于 $B$处的爸爸头顶 $C$的仰角为 $14°$，点 $M$的俯角为 $7°$．已知爸爸的身高为 $1.7m$．

（1）求 $\angle C$的大小及 $AB$的长；

（2）请在图中画出线段 $DH$，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．

（参考数据： $\tan 76°$取 $4$， $\sqrt{17}$取 $4.1$）

如图，点 $P（a，3）$在抛物线 $C：y＝4﹣（6﹣x{）}^2$上，且在 $C$的对称轴右侧．

（1）写出 $C$的对称轴和 $y$的最大值，并求 $a$的值；

（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 $P$及 $C$的一段，分别记为 $P\prime ，C\prime$．平移该胶片，使 $C\prime$所在抛物线对应的函数恰为 $y＝﹣x^2+6x﹣9$．求点 $P\prime$移动的最短路程．

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

验证 如， $（2+1{）}^2+（2﹣1{）}^2＝10$为偶数．请把 $10$的一半表示为两个正整数的平方和；

探究 设“发现”中的两个已知正整数为 $m，n$，请论证“发现”中的结论正确．

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为 $10$分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．