初中数学选择题

构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想.在计算 $\text{tan}{15}^{\circ }$时，如图所示，在 $Rt△\mathit{ACB}$中， $\angle C={90}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={30}^{\circ }$，延长 $\mathit{CB}$使 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{AD}$，得 $\angle D={15}^{\circ }$，所以 $\text{tan}{15}^{\circ }=\frac{\mathit{AC}}{\mathit{CD}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$.类比这种方法，计算 $\text{tan}{22.5}^{\circ }$的值为（ ）

A．

$\mathrm{}\sqrt{2}+1$

B．

$\mathrm{}\sqrt{2}-1$

C．

$\mathrm{}\sqrt{2}$

D．

$\mathrm{}\frac{1}{2}$

图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形 $\mathit{OABC}$.若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{AOB}=\alpha$，则 $O{C}^2$的值为（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }+1$

B．

$\mathrm{}{\text{sin}}^2\alpha +1$

C．

$\mathrm{}\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }+1$

D．

$\mathrm{}{\text{cos}}^2\alpha +1$

抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+b^2+1$的一部分如图所示，设该抛物线与 $x$轴的交点为 $A\left(-3,0\right)$和 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$，若 $△\mathit{ACO}\backsim △\mathit{CBO}$，则 $b^2+1$的值为（ ）

A．

$1$

B．

$2$

C．

$\mathrm{}\sqrt{3}$

D．

$3$

如图所示， $\mathit{DE}$是 $△\mathit{ABC}$的中位线， $F$为 $\mathit{DE}$上一点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{DF},\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{AC}$于点 $H,\mathit{CF}$的延长线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，则 $S_{\mathit{四边形}\mathit{AGF}\text{H}}:S_{△\mathit{BFC}}$等于（ ）

A．

$1:10$

B．

$1:5$

C．

$3:10$

D．

$2:5$

已知抛物线 $y=-x^2+1$的顶点为 $P$，点 $A$是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 $A$作 $x$轴的平行线交二次函数图象于点 $B$，分别过点 $B,A$作 $x$轴的垂线，垂足分别为 $C,D$，连接 $\mathit{PA},\mathit{PD},\mathit{PD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E,△\mathit{PAD}$与 $△\mathit{PEA}$（ ）

A．	始终不相似	B．	始终相似
C．	只有 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$时相似	D．	无法确定

如图， $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$表示两根直立于地面的柱子， $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$表示起固定作用的两根钢筋， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $M$，已知 $\mathit{AB}=8\text{m},\mathit{CD}=12\text{m}$，则点 $M$离地面的高度 $\mathit{MH}$为（ ）

A．

$4\text{m}$

B．

$\mathrm{}\frac{24}{5}\text{m}$

C．

$5\text{m}$

D．

$\mathrm{}\frac{16}{3}\text{m}$

如图，有一块锐角三角形材料，边 $\mathit{BC}=120\text{mm}$，高 $\mathit{AD}=90\text{mm}$，要把它加工成矩形零件，使其一边在 $\mathit{BC}$上，其余两个顶点分别在 $\mathit{AB},\mathit{AC}$上，且 $\mathit{EH}=2\mathit{EF}$，则这个矩形零件的长为（ ）

A．

$36\text{mm}$

B．

$80\text{mm}$

C．

$40\text{mm}$

D．

$72\text{mm}$

有一块锐角三角形余料 $\mathit{ABC}$，它的边 $\mathit{BC}=15\text{cm},\mathit{BC}$边上的高为 $12\text{cm}$，现要把它分割成若干个邻边长分别为 $5\text{cm}$和 $2\text{cm}$的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为 $5\text{cm}$的边在 $\mathit{BC}$上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 （ ）

A．

$3$个

B．

$4$个

C．

$5$个

D．

$6$个

图①是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图②所示，此时液面 $\mathit{AB}=$（ ）

A．

$1\text{cm}$

B．

$2\text{cm}$

C．

$3\text{cm}$

D．

$4\text{cm}$

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $\mathit{ABCD}$如图所示.过点 $D$作 $\mathit{DF}$的垂线交小正方形对角线 $\mathit{EF}$的延长线于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，延长 $\mathit{BE}$交 $\mathit{CG}$于点 $H$.若 $\mathit{AE}=2\mathit{BE}$，则 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BH}}$的值为 （ ）

A．

$\mathrm{}\frac{3}{2}$

B．

$\mathrm{}\sqrt{2}$

C．

$\mathrm{}\frac{3\sqrt{10}}{7}$

D．

$\mathrm{}\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\mathit{AB}=5,\mathit{BC}=10$，连接 $\mathit{AC},\mathit{BD}$，以 $\mathit{BD}$为直径的圆交 $\mathit{AC}$于点 $E$.若 $\mathit{DE}=3$，则 $\mathit{AD}$的长为（ ）

A．

$5$

B．

$4$

C．

$3\sqrt{5}$

D．

$2\sqrt{5}$

如图，已知在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1,\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $P$是 $\mathit{AD}$边上的一个动点，连接 $\mathit{BP}$，点 $C$关于直线 $\mathit{BP}$的对称点为 $C_1$，当点 $P$运动时，点 $C_1$也，随之运动.若点 $P$从点 $A$运动到点 $D$，则线段 $C{C}_1$扫过的区域的面积是（ ）

A．

$\pi$

B．

$\pi +\frac{3\sqrt{3}}{4}$

C．

$\mathrm{}\frac{3\sqrt{3}}{2}$

D．

$2\pi$

已知 $\odot O$的半径为 $2,A$为圆内一定点， $\mathit{AO}=1.P$为圆上一动点，以 $\mathit{AP}$为边作等腰 $△\mathit{APG},\mathit{AP}=\mathit{PG},\angle \mathit{APG}={120}^{\circ },\mathit{OG}$的最大值为（ ）

A．

$1+\sqrt{3}$

B．

$1+2\sqrt{3}$

C．

$2+\sqrt{3}$

D．

$2\sqrt{3}-1$

如图，点 $C$是半圆 $O$的中点， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CF}\perp$弦 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{CE}=1,\mathit{EF}=\frac{10}{3}$，则 $\mathit{BF}$的长为（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{\sqrt{13}}{3}$

B．

$1$

C．

$\mathrm{}\frac{2\sqrt{26}}{13}$

D．

$\mathrm{}\frac{2\sqrt{13}}{3}$

如图，一张半径为 $1$的圆形纸片在边长为 $4$的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）

A．

$4-\pi$

B．

$\pi$

C．

$12+\pi$

D．

$15+\frac{\pi }{4}$