初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $\mathit{AB}=120m$ ，楼高 $\mathit{CD}=99m$ ，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外．在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $\angle \mathit{EAM}=45°$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $\angle \mathit{FAM}=60°$ ，已知每层楼的高度为 $3m$ ， $\mathit{EF}=40m$ ，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？ $(\sqrt{3}\approx 1.73)$

某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 $\mathit{AB}$是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 $\mathit{AB}$的上方120米的点 $C$处悬停，此时测得桥两端 $A$， $B$两点的俯角分别为 $60°$和 $45°$，求桥 $\mathit{AB}$的长度．

居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 $45°$，底部的俯角为 $38°$；又用绳子测得测角仪距地面的高度 $\mathit{AB}$为 $31.6m$．求该大楼的高度（结果精确到 $0.1m)$．

（参考数据： $\sin 38°\approx 0.62$， $\cos 38°\approx 0.79$， $\tan 38°\approx 0.78)$

如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 $\mathit{AB}$ 的高度进行测量，先测得居民楼 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{CD}$ 之间的距离 $\mathit{AC}$ 为 $35m$ ，后站在 $M$ 点处测得居民楼 $\mathit{CD}$ 的顶端 $D$ 的仰角为 $45°$ ，居民楼 $\mathit{AB}$ 的顶端 $B$ 的仰角为 $55°$ ，已知居民楼 $\mathit{CD}$ 的高度为 $16.6m$ ，小莹的观测点 $N$ 距地面 $1.6m$ ．求居民楼 $\mathit{AB}$ 的高度（精确到 $1m)$ ．（参考数据： $\sin 55°\approx 0.82$ ， $\cos 55°\approx 0.57$ ， $\tan 55°\approx l.43)$ ．

某兴趣小组为了测量大楼 $\mathit{CD}$ 的高度，先沿着斜坡 $\mathit{AB}$ 走了52米到达坡顶点 $B$ 处，然后在点 $B$ 处测得大楼顶点 $C$ 的仰角为 $53°$ ，已知斜坡 $\mathit{AB}$ 的坡度为 $i=1:2.4$ ，点 $A$ 到大楼的距离 $\mathit{AD}$ 为72米，求大楼的高度 $\mathit{CD}$ ．

（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

如图，无人机在离地面60米的 $C$ 处，观测楼房顶部 $B$ 的俯角为 $30°$ ，观测楼房底部 $A$ 的俯角为 $60°$ ，求楼房的高度．

如图，山顶上有一个信号塔 $\mathit{AC}$，已知信号塔高 $\mathit{AC}=15$米，在山脚下点 $B$处测得塔底 $C$的仰角 $\angle \mathit{CBD}=36.9°$，塔顶 $A$的仰角 $\angle \mathit{ABD}=42.0°$，求山高 $\mathit{CD}$（点 $A$， $C$， $D$在同一条竖直线上）．

（参考数据： $\tan 36.9°\approx 0.75$， $\sin 36.9°\approx 0.60$， $\tan 42.0°\approx 0.90$． $)$

为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道 $\mathit{AB}$在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点 $P$处测得点 $A$的俯角为 $30°$，继续飞行1500米到达点 $Q$处，测得点 $B$的俯角为 $45°$．

（1）填空： $\angle A=$　　度， $\angle B=$　　度；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到1米）．

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $\mathit{MP}$上架设测角仪，先在点 $M$处测得观星台最高点 $A$的仰角为 $22°$，然后沿 $\mathit{MP}$方向前进 $16m$到达点 $N$处，测得点 $A$的仰角为 $45°$．测角仪的高度为 $1.6m$．

（1）求观星台最高点 $A$距离地面的高度（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sqrt{2}\approx 1.41)$；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6m$．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$

如图所示，某建筑物楼顶有信号塔 $\mathit{EF}$，卓玛同学为了探究信号塔 $\mathit{EF}$的高度，从建筑物一层 $A$点沿直线 $\mathit{AD}$出发，到达 $C$点时刚好能看到信号塔的最高点 $F$，测得仰角 $\angle \mathit{ACF}=60°$， $\mathit{AC}$长7米．接着卓玛再从 $C$点出发，继续沿 $\mathit{AD}$方向走了8米后到达 $B$点，此时刚好能看到信号塔的最低点 $E$，测得仰角 $\angle B=30°$．（不计卓玛同学的身高）求信号塔 $\mathit{EF}$的高度（结果保留根号）．

如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 $\mathit{MN}$．他俩在小明家的窗台 $B$处，测得商业大厦顶部 $N$的仰角 $\angle 1$的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在 $B$处测得商业大厦底部 $M$的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 $C$处测得大厦底部 $M$的俯角 $\angle 2$的度数，竟然发现 $\angle 1$与 $\angle 2$恰好相等．已知 $A$， $B$， $C$三点共线， $\mathit{CA}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{NM}\perp \mathit{AM}$， $\mathit{AB}=31m$， $\mathit{BC}=18m$，试求商业大厦的高 $\mathit{MN}$．

某市为了加快 $5G$网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点 $A$测得发射塔顶端 $P$点的仰角是 $45°$，向前走60米到达 $B$点测得 $P$点的仰角是 $60°$，测得发射塔底部 $Q$点的仰角是 $30°$．请你帮小军计算出信号发射塔 $\mathit{PQ}$的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$，大楼的底部 $B$， $D$在同一平面上，两幢楼之间的距离 $\mathit{BD}$长为24米，小明在点 $E(B$， $E$， $D$在一条直线上）处测得教学楼 $\mathit{AB}$顶部的仰角为 $45°$，然后沿 $\mathit{EB}$方向前进8米到达点 $G$处，测得教学楼 $\mathit{CD}$顶部的仰角为 $30°$．已知小明的两个观测点 $F$， $H$距离地面的高度均为1.6米，求教学楼 $\mathit{AB}$的高度 $\mathit{AB}$长．（精确到0.1米）参考值： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$．

如图，为了测量山坡上一棵树 $\mathit{PQ}$的高度，小明在点 $A$处利用测角仪测得树顶 $P$的仰角为 $45°$，然后他沿着正对树 $\mathit{PQ}$的方向前进 $10m$到达点 $B$处，此时测得树顶 $P$和树底 $Q$的仰角分别是 $60°$和 $30°$，设 $\mathit{PQ}$垂直于 $\mathit{AB}$，且垂足为 $C$．

（1）求 $\angle \mathit{BPQ}$的度数；

（2）求树 $\mathit{PQ}$的高度（结果精确到 $0.1m$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$．