初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

热气球的探测器显示，从热气球 $A$处看大楼 $\mathit{BC}$顶部 $C$的仰角为 $30°$，看大楼底部 $B$的俯角为 $45°$，热气球与该楼的水平距离 $\mathit{AD}$为60米，求大楼 $\mathit{BC}$的高度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台 $A$处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项 $D$处测得塔 $A$处的仰角为 $45°$，塔底部 $B$处的俯角为 $22°$．已知建筑物的高 $\mathit{CD}$约为61米，请计算观景台的高 $\mathit{AB}$的值．

（结果精确到1米；参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40)$

如图，线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别表示甲、乙两建筑物的高， $\mathit{BA}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{DA}$，垂足分别为 $A$、 $D$．从 $D$点测到 $B$点的仰角 $\alpha$为 $60°$，从 $C$点测得 $B$点的仰角 $\beta$为 $30°$，甲建筑物的高 $\mathit{AB}=30$米．

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离 $\mathit{AD}$．

（2）求乙建筑物的高 $\mathit{CD}$．

如图，小明在 $A$处测得风筝 $(C$处）的仰角为 $30°$，同时在 $A$正对着风筝方向距 $A$处30米的 $B$处，小明测得风筝的仰角为 $60°$，求风筝此时的高度．（结果保留根号）

如图，两座建筑物 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$，其地面距离 $\mathit{CD}$为 $60m$，从 $\mathit{AD}$的顶点 $A$测得 $\mathit{BC}$顶部 $B$的仰角 $\alpha =30°$，测得其底部 $C$的俯角 $\beta =45°$，求建筑物 $\mathit{BC}$的高（结果保留根号）

某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚 $B$到山腰 $D$沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 $D$到 $A$修建电动扶梯，经测量，山高 $\mathit{AC}=154$米，步行道 $\mathit{BD}=168$米， $\angle \mathit{DBC}=30°$，在 $D$处测得山顶 $A$的仰角为 $45°$．求电动扶梯 $\mathit{DA}$的长（结果保留根号）．

如图， $A$、 $B$两个小岛相距 $10\mathit{km}$，一架直升飞机由 $B$岛飞往 $A$岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的 $\mathit{hkm}$，当直升机飞到 $P$处时，由 $P$处测得 $B$岛和 $A$岛的俯角分别是 $45°$和 $60°$，已知 $A$、 $B$、 $P$和海平面上一点 $M$都在同一个平面上，且 $M$位于 $P$的正下方，求 $h$（结果取整数， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 $\mathit{OP}$为下水管道口直径， $\mathit{OB}$为可绕转轴 $O$自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径 $\mathit{OB}=\mathit{OP}=100\mathit{cm}$， $\mathit{OA}$为检修时阀门开启的位置，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $\angle \mathit{POB}$的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $\mathit{OB}$位置时，在点 $A$处测得俯角 $\angle \mathit{CAB}=67.5°$，若此时点 $B$恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

$(\sqrt{2}=1.41$， $\sin 67.5°=0.92$， $\cos 67.5°=0.38$， $\tan 67.5°=2.41$， $\sin 22.5°=0.38$， $\cos 22.5°=0.92$， $\tan 22.5°=0.41)$

随着我市农产品整体品牌形象“聊 $·$胜一筹 $!$”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$分别表示大棚的墙高和跨度， $\mathit{AC}$表示保温板的长．已知墙高 $\mathit{AB}$为2米，墙面与保温板所成的角 $\angle \mathit{BAC}=150°$，在点 $D$处测得 $A$点、 $C$点的仰角分别为 $9°$， $15.6°$，如图2．求保温板 $\mathit{AC}$的长是多少米？（精确到0.1米）

（参考数据： $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.86$， $\sin 9°\approx 0.16$， $\cos 9°\approx 0.99$， $\tan 9°\approx 0.16$， $\sin 15.6°\approx 0.27$， $\cos 15.6°\approx 0.96$， $\tan 15.6°\approx 0.28)$

在小水池旁有一盏路灯，已知支架 $\mathit{AB}$的长是 $0.8m$， $A$端到地面的距离 $\mathit{AC}$是 $4m$，支架 $\mathit{AB}$与灯柱 $\mathit{AC}$的夹角为 $65°$．小明在水池的外沿 $D$测得支架 $B$端的仰角是 $45°$，在水池的内沿 $E$测得支架 $A$端的仰角是 $50°$（点 $C$、 $E$、 $D$在同一直线上），求小水池的宽 $\mathit{DE}$．（结果精确到 $0.1m\left)\right(\sin 65°\approx 0.9$， $\cos 65°\approx 0.4$， $\tan 50°\approx 1.2)$

2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 $A$处的俯角为 $30°$， $B$处的俯角为 $45°$，如果此时直升机镜头 $C$处的高度 $\mathit{CD}$为200米，点 $A$、 $B$、 $D$在同一条直线上，则 $A$、 $B$两点间的距离为多少米？（结果保留根号）

如图，两座建筑物的水平距离 $\mathit{BC}$为 $60m$，从 $C$点测得 $A$点的仰角 $\alpha$为 $53°$，从 $A$点测得 $D$点的俯角 $\beta$为 $37°$，求两座建筑物的高度（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$， $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$．

如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 $\mathit{CD}$的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在 $A$处测得五楼顶部点 $D$的仰角为 $60°$，在 $B$处测得四楼顶部点 $E$的仰角为 $30°$， $\mathit{AB}=14$米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，两座建筑物的水平距离 $\mathit{BC}=30m$，从 $A$点测得 $D$点的俯角 $\alpha$为 $30°$，测得 $C$点的俯角 $\beta$为 $60°$，求这两座建筑物的高度．

耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图 $1)$．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点 $P$处，利用测角仪测得运河两岸上的 $A$， $B$两点的俯角分别为 $17.9°$， $22°$，并测得塔底点 $C$到点 $B$的距离为142米 $(A$、 $B$、 $C$在同一直线上，如图 $2)$，求运河两岸上的 $A$、 $B$两点的距离（精确到1米）．

（参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 17.9°\approx 0.31$， $\cos 17.9°\approx 0.95$， $\tan 17.9°\approx 0.32)$