初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}$的延长线与过点 $B$的切线交于点 $C$， $E$为线段 $\mathit{AD}$上的点，过点 $E$的弦 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $H$．

（1）求证： $\angle C=\angle \mathit{AGD}$；

（2）已知 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=4$，且 $\mathit{CE}=2\mathit{AE}$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $D$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=4$， $\cos \angle \mathit{CAB}=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图， $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CB}$上的一点， $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$于点 $F$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CE}=1$．求 $\mathit{DF}$的长度．

如图，已知边长为10的正方形 $\mathit{ABCD}$， $E$是 $\mathit{BC}$边上一动点（与 $B$、 $C$不重合），连结 $\mathit{AE}$， $G$是 $\mathit{BC}$延长线上的点，过点 $E$作 $\mathit{AE}$的垂线交 $\angle \mathit{DCG}$的角平分线于点 $F$，若 $\mathit{FG}\perp \mathit{BG}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta EGF}$；

（2）若 $\mathit{EC}=2$，求 $\mathit{\Delta CEF}$的面积；

（3）请直接写出 $\mathit{EC}$为何值时， $\mathit{\Delta CEF}$的面积最大．

如图， $\angle \mathit{AOB}=90°$，反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x<0)$的图象过点 $A(-1,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象过点 $B$，且 $\mathit{AB}//x$轴．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{MN}//\mathit{OA}$，交 $x$轴于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于另一点 $C$，求 $\mathit{\Delta OBC}$的面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{6}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线 $\mathit{AD}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ；

②作线段 $\mathit{AD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OD}$ 长为半径画圆，交边 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（3）若 $\mathit{AM}=4\mathit{BM}$ ， $\mathit{AC}=10$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$．求作菱形 $\mathit{DEFG}$，使点 $D$在边 $\mathit{AC}$上，点 $E$、 $F$在边 $\mathit{AB}$上，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上．

小明的作法

1．如图②，在边 $\mathit{AC}$上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

2．以点 $D$为圆心， $\mathit{DG}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

3．在 $\mathit{EB}$上截取 $\mathit{EF}=\mathit{ED}$，连接 $\mathit{FG}$，则四边形 $\mathit{DEFG}$为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形 $\mathit{DEFG}$是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 $D$的位置变化而变化 $\dots \dots$请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的 $\mathit{CD}$的长的取值范围．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=4$． $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，点 $A$与点 $C$关于 $\mathit{EF}$所在的直线对称， $P$是边 $\mathit{DC}$上的一动点．

（1）连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{CE}$，求证四边形 $\mathit{AFCE}$是菱形；

（2）当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{CP}}$的值；

（3）连接 $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $M$，当 $\angle \mathit{EMP}=45°$时，求 $\mathit{CP}$的长．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+c$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(6,\frac{15}{2})$在抛物线上，直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求 $c$的值及直线 $\mathit{AC}$的函数表达式；

（2）点 $P$在 $x$轴正半轴上，点 $Q$在 $y$轴正半轴上，连接 $\mathit{PQ}$与直线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{MO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $M$为 $\mathit{PQ}$的中点．

①求证： $\mathit{\Delta APM}\backsim \mathit{\Delta AON}$；

②设点 $M$的横坐标为 $m$，求 $\mathit{AN}$的长（用含 $m$的代数式表示）．

如果三角形的两个内角 $\alpha$与 $\beta$满足 $2\alpha +\beta =90°$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”， $\angle C>90°$， $\angle A=60°$，则 $\angle B=$　　 $°$；

（2）如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=5$．若 $\mathit{AD}$是 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，不难证明 $\mathit{\Delta ABD}$是“准互余三角形”．试问在边 $\mathit{BC}$上是否存在点 $E$（异于点 $D)$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$也是“准互余三角形”？若存在，请求出 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=7$， $\mathit{CD}=12$， $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BCD}$，且 $\mathit{\Delta ABC}$是“准互余三角形”，求对角线 $\mathit{AC}$的长．