初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{GH}$ 分别平行于 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_1$ 、 $P_2$ 分别在线段 $\mathit{PF}$ 、 $\mathit{PH}$ 上， $P{P}_1=\mathit{PG}$ ， $P{P}_2=\mathit{PE}$ ，连接 $P_{1}H$ 、 $P_{2}F$ ， $P_{1}H$ 与 $P_{2}F$ 相交于点 $Q$ ．已知 $\mathit{AG}:\mathit{GD}=\mathit{AE}:\mathit{EB}=1:2$ ，设 $\mathit{AG}=a$ ， $\mathit{AE}=b$ ．

（1）四边形 $\mathit{EBHP}$ 的面积 　　四边形 $\mathit{GPFD}$ 的面积（填" $>$ "、" $=$ "或" $<$ " $)$

（2）求证：△ $P_1\mathit{FQ}\backsim$ △ $P_2\mathit{HQ}$ ；

（3）设四边形 $P{P}_{1}Q{P}_2$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{CFQH}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值．

如图，点 $O$ 为以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $\mathit{AB}$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，四边形 $\mathit{MNPQ}$ 为正方形，点 $C$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QP}}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $\mathit{BC}$ 并延长交 $\mathit{MQ}$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{MQ}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OQ}$ ．

（1）求 $\sin \angle \mathit{AOQ}$ 的值；

（2）求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MN}}$ 的值；

（3）令 $\mathit{ME}=x$ ， $\mathit{QD}=y$ ，直径 $\mathit{AB}=2R(R>0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $P$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 上一动点，将 $\mathit{\Delta ABP}$ 沿直线 $\mathit{AP}$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B\text{'}$ ，连接 $\mathit{AB}\text{'}$ ， $\mathit{CB}\text{'}$ ， $\mathit{BB}\text{'}$ ， $\mathit{PB}\text{'}$ ．

（1）如图①，若 $\mathit{PB}\text{'}\perp \mathit{AC}$ ，证明： $\mathit{PB}\text{'}=\mathit{AB}\text{'}$ ．

（2）如图②，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{BP}=3\mathit{PC}$ ，求 $\cos \angle B\text{'}\mathit{AC}$ 的值．

（3）如图③，若 $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{AB}=\mathit{CB}\text{'}$ ．若存在，求此时 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{BC}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $N$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点， $D$ 为 $\mathit{AN}$ 的中点，过点 $A$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{CD}$ 的延长线于 $T$ ，且 $\mathit{AT}=\mathit{BN}$ ，连接 $\mathit{BT}$ ．

（1）求证： $\mathit{BN}=\mathit{CN}$ ；

（2）在图1中 $\mathit{AN}$ 上取一点 $O$ ，使 $\mathit{AO}=\mathit{OC}$ ，作 $N$ 关于边 $\mathit{AC}$ 的对称点 $M$ ，连接 $\mathit{MT}$ 、 $\mathit{MO}$ 、 $\mathit{OC}$ 、 $\mathit{OT}$ 、 $\mathit{CM}$ 得图2．

①求证： $\mathit{\Delta TOM}\backsim \mathit{\Delta AOC}$ ；

②设 $\mathit{TM}$ 与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $P$ ，求证： $\mathit{PD}//\mathit{CM}$ ， $\mathit{PD}=\frac{1}{2}\mathit{CM}$ ．

如图所示，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，在 $\mathit{\Delta ECH}$中， $\angle \mathit{ECH}=90°$， $\mathit{CE}=\mathit{CH}$， $\mathit{HE}$的延长线与 $\mathit{CD}$的延长线交于点 $F$，点 $D$、 $B$、 $H$在同一条直线上．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}\cong \mathit{\Delta CBH}$；

（2）当 $\frac{\mathit{HB}}{\mathit{HD}}=\frac{1}{5}$时，求 $\frac{\mathit{FD}}{\mathit{FC}}$的值；

（3）当 $\mathit{HB}=3$， $\mathit{HG}=4$时，求 $\sin \angle \mathit{CFE}$的值．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

在一平面内，线段 $\mathit{AB}=20$，线段 $\mathit{BC}=\mathit{CD}=\mathit{DA}=10$，将这四条线段顺次首尾相接．把 $\mathit{AB}$固定，让 $\mathit{AD}$绕点 $A$从 $\mathit{AB}$开始逆时针旋转角 $\alpha (\alpha >0°)$到某一位置时， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$时，设 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$交于点 $O$，求证： $\mathit{AO}=10$；

发现：当旋转角 $\alpha =60°$时， $\angle \mathit{ADC}$的度数可能是多少？

尝试：取线段 $\mathit{CD}$的中点 $M$，当点 $M$与点 $B$距离最大时，求点 $M$到 $\mathit{AB}$的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$与 $B$的距离为 $d$，若 $\angle \mathit{BCD}$的平分线所在直线交 $\mathit{AB}$于点 $P$，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $d$的式子表示）；

②当点 $C$在 $\mathit{AB}$下方，且 $\mathit{AD}$与 $\mathit{CD}$垂直时，直接写出 $\alpha$的余弦值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ ．点 $P$ 是 $\mathit{CA}$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2\mathit{cm}$ 的速度沿 $\mathit{CA}$ 方向匀速运动，以 $\mathit{CP}$ 为边作等边 $\mathit{\Delta CPQ}$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $\mathit{AC}$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $\mathit{AB}$ 上时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $\mathit{\Delta ABC}$ 外部时，求此时 $\mathit{\Delta ABC}$ 与 $\mathit{\Delta CPQ}$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 $\mathit{ACDE}$的中心 $O$，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{HP}$，将它分成4份，所分成的四部分和以 $\mathit{BC}$为边的正方形恰好能拼成以 $\mathit{AB}$为边的正方形．若 $\mathit{AC}=12$， $\mathit{BC}=5$，求 $\mathit{EF}$的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 $N$的边长为定值 $n$，小正方形 $A$， $B$， $C$， $D$的边长分别为 $a$， $b$， $c$， $d$．

已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=\alpha$，当角 $\alpha (0°<\alpha <90°)$变化时，探究 $b$与 $c$的关系式，并写出该关系式及解答过程 $(b$与 $c$的关系式用含 $n$的式子表示）．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{AO}$，将 $\mathit{\Delta AOC}$绕点 $O$顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 $\mathit{\Delta EOF}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$时，则 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CF}$满足的数量关系是 　　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$且 $\mathit{AB}\ne \mathit{AC}$时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{AO}$到点 $D$，使 $\mathit{OD}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{DE}$，当 $\mathit{AO}=\mathit{CF}=5$， $\mathit{BC}=6$时，求 $\mathit{DE}$的长．