在一平面内，线段 $\mathit{AB}=20$，线段 $\mathit{BC}=\mathit{CD}=\mathit{DA}=10$，将这四条线段顺次首尾相接．把 $\mathit{AB}$固定，让 $\mathit{AD}$绕点 $A$从 $\mathit{AB}$开始逆时针旋转角 $\alpha (\alpha >0°)$到某一位置时， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$时，设 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$交于点 $O$，求证： $\mathit{AO}=10$；

发现：当旋转角 $\alpha =60°$时， $\angle \mathit{ADC}$的度数可能是多少？

尝试：取线段 $\mathit{CD}$的中点 $M$，当点 $M$与点 $B$距离最大时，求点 $M$到 $\mathit{AB}$的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$与 $B$的距离为 $d$，若 $\angle \mathit{BCD}$的平分线所在直线交 $\mathit{AB}$于点 $P$，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $d$的式子表示）；

②当点 $C$在 $\mathit{AB}$下方，且 $\mathit{AD}$与 $\mathit{CD}$垂直时，直接写出 $\alpha$的余弦值．