在一平面内，线段AB20，线段BCCDDA10，将这四条线段

在一平面内，线段 $AB = 20$ ，线段 $BC = CD = DA = 10$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $AB$ 固定，让 $AD$ 绕点 $A$ 从 $AB$ 开始逆时针旋转角 $α (α > 0 °)$ 到某一位置时， $BC$ ， $CD$ 将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $AD / / BC$ 时，设 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $O$ ，求证： $AO = 10$ ；

发现：当旋转角 $α = 60 °$ 时， $∠ ADC$ 的度数可能是多少？

尝试：取线段 $CD$ 的中点 $M$ ，当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，求点 $M$ 到 $AB$ 的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$ 与 $B$ 的距离为 $d$ ，若 $∠ BCD$ 的平分线所在直线交 $AB$ 于点 $P$ ，直接写出 $BP$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）；

②当点 $C$ 在 $AB$ 下方，且 $AD$ 与 $CD$ 垂直时，直接写出 $α$ 的余弦值．

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（本题10分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形， AB＝2，求菱形BFDE的面积．

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（本题10分）用你发现的规律解答下列问题．
┅┅
（1）计算．
（2）探究．（用含有的式子表示）
（3）若的值为，求的值．

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（本题9分）为了了解“通话时长”（“通话时长”指每次通话时间）的分布情况，小强收集了他家1000个“通话时长”数据，这些数据均不超过18（单位：分钟），他从中随机抽取了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完成的频数分布直方图．

“通话时长” x/分钟	0＜x≤3	3＜x≤6	6＜x≤9	9＜x≤12	12＜x≤15	15＜x≤18
次数	36	a	8	12	8	12

根据图、表提供的信息，解答下列问题：

（1）a＝，样本容量是，并将这个频数分布直方图补充完整；

（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率；

（3）请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．

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（本题6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图并标好相应的字母：

（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB₁C₁，画出△AB₁C₁．
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₂B₂C₂．

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（本题6分）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．

求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF．

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