初中数学相似三角形的判定与性质解答题

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为点 $E$ ．弦 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ，点 $P$ 在 $\mathit{CD}$ 延长线上，且 $\mathit{PF}=\mathit{PG}$ ．

（1）求证： $\mathit{PF}$ 为 $\odot O$ 切线；

（2）若 $\mathit{OB}=10$ ， $\mathit{BF}=16$ ， $\mathit{BE}=8$ ，求 $\mathit{PF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $D$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=4$， $\cos \angle \mathit{CAB}=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以 $\mathit{AB}$ 的中点 $O$ 为圆心， $\mathit{AB}$ 为直径的圆交 $\mathit{AC}$ 于 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BA}$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{FD}$ 是圆 $O$ 的切线：

（2）若 $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{FB}=8$ ，求 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\mathit{AO}\perp \mathit{BO}$ ， $\mathit{AB}\perp y$ 轴， $O$ 为坐标原点， $A$ 的坐标为 $(n,\sqrt{3})$ ，反比例函数 $y_1=\frac{k_1}{x}$ 的图象的一支过 $A$ 点，反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}$ 的图象的一支过 $B$ 点，过 $A$ 作 $\mathit{AH}\perp x$ 轴于 $H$ ，若 $\mathit{\Delta AOH}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）求反比例函数 $y_2$ 的解析式．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$相切于点 $B$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{OC}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{AD}=4$，直径 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$，点 $D$为 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，且 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{DE}$，若 $\angle A=30°$，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{DE}}$．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图1，平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=10$，点 $P$在边 $\mathit{AD}$上运动，以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$为半径的 $\odot P$与对角线 $\mathit{AC}$交于 $A$， $E$两点．

（1）如图2，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $F$时，求 $\mathit{AP}$的长；

（2）不难发现，当 $\odot P$与边 $\mathit{CD}$相切时， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边有三个公共点，随着 $\mathit{AP}$的变化， $\odot P$与平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $\mathit{AP}$的值的取值范围　　．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A(-9,0)$， $B(0,6)$两点，过点 $C(2,0)$作直线 $l$与 $\mathit{BC}$垂直，点 $E$在直线 $l$位于 $x$轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ACE}$的面积为11，求点 $E$的坐标；

（3）当 $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ABO}$时，点 $E$的坐标为　 $(11,3)$　．

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径，点 $P$为 $\odot O$外一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}=\sqrt{2}\mathit{AB}$，连接 $\mathit{PO}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{PO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）证明： $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=2\sqrt{2}$，证明： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $\mathit{PB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{DE}$的长．