初中数学切线的判定与性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{BC}$上取一点 $O$，以 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径画 $\odot O$， $\odot O$与边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{OA}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，并延长交线段 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\tan B=\frac{4}{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）若 $F$是 $\mathit{AB}$的中点，试探究 $\mathit{BD}+\mathit{CE}$与 $\mathit{AF}$的数量关系并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$与直径 $\mathit{AB}$相交于点 $F$．点 $E$在 $\odot O$外，作直线 $\mathit{AE}$，且 $\angle \mathit{EAC}=\angle D$．

（1）求证：直线 $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BC}=4$， $\cos \angle \mathit{BAD}=\frac{3}{4}$， $\mathit{CF}=\frac{10}{3}$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作圆 $O$，分别交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{CA}$的延长线于点 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{DE}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是圆 $O$的切线；

（2）若 $A$为 $\mathit{EH}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FD}}$的值；

（3）若 $\mathit{EA}=\mathit{EF}=1$，求圆 $O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过 $\mathit{AB}$的中点 $E$作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OA}$，垂足为 $C$，过点 $B$作直线 $\mathit{BD}$交 $\mathit{CE}$的延长线于点 $D$，使得 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{DB}=5$，求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图， $\odot O$的直径为 $\mathit{AB}$，点 $C$在 $\odot O$上，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的延长线上， $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$， $\angle A=\angle \mathit{CDE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BD}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图1，已知 $\odot O$是 $\mathit{\Delta ADB}$的外接圆， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DC}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）如图2，在图1的基础上做 $\odot O$的直径 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AF}$，过点 $A$做 $\odot O$的切线 $\mathit{AH}$，若 $\mathit{AH}//\mathit{BC}$，求 $\angle \mathit{ACF}$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $6\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ABD}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积比为 $2:9$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{ED}\perp \mathit{EB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BED}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\odot O$的半径为2.5， $\mathit{BE}=4$，求 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$的长．

如图，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点， $\mathit{\Delta OAB}$外角的平分线交 $\odot O$于另一点 $C$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于 $D$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2） $E$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点， $F$为 $\odot O$上一点， $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$，若 $\tan \angle \mathit{AFE}=\frac{3}{4}$， $\mathit{BE}=\mathit{BG}$， $\mathit{EG}=3\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的一条弦， $D$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{DA}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$为半圆 $O$的切线；

（2）若 $\mathit{DA}=\mathit{DF}=6\sqrt{3}$，求阴影区域的面积．（结果保留根号和 $\pi )$

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $O$点在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{\Delta PBD}\backsim \mathit{\Delta DCA}$；

（3）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$时，求线段 $\mathit{PB}$的长．

如图，已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=12$，弦 $\mathit{AC}=10$， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot O$上， $\angle A=2\angle \mathit{BCD}$，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{DF}=\sqrt{10}$，求 $\odot O$的半径．

如图，点 $E$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CD}$垂直于 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{4}{5}$， $\mathit{BF}=15$，求 $\mathit{AC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，延长 $\mathit{EF}$交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$，且 $\angle \mathit{ABG}=2\angle C$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\sin \angle \mathit{EGC}=\frac{3}{5}$， $\odot O$的半径是3，求 $\mathit{AF}$的长．

已知：四边形 $\mathit{OABC}$是菱形，以 $O$为圆心作 $\odot O$，与 $\mathit{BC}$相切于点 $D$，交 $\mathit{OA}$于 $E$，交 $\mathit{OC}$于 $F$，连接 $\mathit{OD}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{OD}$于点 $G$，若 $\angle C=45°$，求证： $G{F}^2=\mathit{DG}·\mathit{OE}$．