如图,已知 AB 是 ⊙ O 的直径,弦 CD 与直径 AB 相交于点 F .点 E 在 ⊙ O 外,作直线 AE ,且 ∠ EAC = ∠ D .
(1)求证:直线 AE 是 ⊙ O 的切线.
(2)若 BC = 4 , cos ∠ BAD = 3 4 , CF = 10 3 ,求 BF 的长.
某学校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目供学生选择.为了估计全校学生对这四个活动项目的选择情况,体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查(规定每人必须并且只能选择其中的一个项目),并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)求参加这次调查的学生人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“篮球”项目所对应扇形的圆心角度数;
(3)若该校共有600名学生,试估计该校选择“足球”项目的学生有多少人?
如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).
如图,点 A , F , C , D 在一条直线上, AB / / DE , AB = DE , AF = DC .求证: BC / / EF .
【定义】如图1, A , B 为直线 l 同侧的两点,过点 A 作直线 l 的对称点 A ' ,连接 A ' B 交直线 l 于点 P ,连接 AP ,则称点 P 为点 A , B 关于直线 l 的“等角点”.
【运用】如图2,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A ( 2 , 3 ) , B ( − 2 , − 3 ) 两点.
(1) C ( 4 , 3 2 ) , D ( 4 , 2 2 ) , E ( 4 , 1 2 ) 三点中,点 C 是点 A , B 关于直线 x = 4 的等角点;
(2)若直线 l 垂直于 x 轴,点 P ( m , n ) 是点 A , B 关于直线 l 的等角点,其中 m > 2 , ∠ APB = α ,求证: tan α 2 = n 2 ;
(3)若点 P 是点 A , B 关于直线 y = ax + b ( a ≠ 0 ) 的等角点,且点 P 位于直线 AB 的右下方,当 ∠ APB = 60 ° 时,求 b 的取值范围(直接写出结果).
如图,正方形 ABCD 中, AB = 2 5 , O 是 BC 边的中点,点 E 是正方形内一动点, OE = 2 ,连接 DE ,将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90 ° 得 DF ,连接 AE , CF .
(1)求证: AE = CF ;
(2)若 A , E , O 三点共线,连接 OF ,求线段 OF 的长.
(3)求线段 OF 长的最小值.