如图，已知 AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F ．点 E 在 ⊙ O 外，作直线 AE ，且 ∠ EAC = ∠ D ．
（1）求证：直线 AE 是 ⊙ O 的切线．
（2）若 BC = 4 ， cos ∠ BAD = 3 4 ， CF = 10 3 ，求 BF 的长．
化简: 37 + 20 3 + 37 - 20 3 .
定义 f x = 1 x 2 + 2 x + 1 3 + x 2 - 1 3 + x 2 - 2 x + 1 3 ，求 f 1 + f 3 + f 5 + ⋯ + f 2 k - 1 + f 999 的值.
设 x = t + 1 - t t + 1 + t ， y = t + 1 + t t + 1 - t ， t 为何值时，代数式 20 x 2 + 41 xy + 20 y 2 的值为 2001 .
（1）化简: 6 + 4 3 + 3 2 6 + 3 3 + 2 ;
（2）设 a = 16 17 + 1 ，求 a 5 + 2 a 4 - 17 a 3 - a 2 + 18 a - 17 的值.
正数 m ， n 满足 m + 4 mn - 2 m - 4 n + 4 n = 3 ，求 m + 2 n - 8 m + 2 n + 2022 的值.
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