初中数学切线的判定与性质解答题

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $\mathit{AB}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，且 $\angle D=30°$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $\mathit{CD}$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $\mathit{AB}$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C{G}^2=\mathit{AE}·\mathit{BF}$ ．

如图， $\mathit{OA}=2$，以点 $A$为圆心，1为半径画 $\odot A$与 $\mathit{OA}$的延长线交于点 $C$，过点 $A$画 $\mathit{OA}$的垂线，垂线与 $\odot A$的一个交点为 $B$，连接 $\mathit{BC}$

（1）线段 $\mathit{BC}$的长等于　    　；

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：

①以点　　为圆心，以线段　　的长为半径画弧，与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，使线段 $\mathit{OD}$的长等于 $\sqrt{6}$

②连 $\mathit{OD}$，在 $\mathit{OD}$上画出点 $P$，使 $\mathit{OP}$的长等于 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$，请写出画法，并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $C$ 是 $\odot O$ 上的一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ 于 $D$ ， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于 $F$ ，且 $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，圆的半径 $\mathit{OB}=5$ ，求切线 $\mathit{EC}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{CAE}$交 $\odot O$于点 $D$，且 $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{CD}=3\sqrt{2}$，求弦 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上一点， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线 $\mathit{AD}$ 交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BD}$ ．若 $\mathit{OF}=1$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长度．

如图， $M$， $N$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上的点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AN}}=\stackrel{̂}{\mathit{BN}}$，弦 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AB}$于点 $C$， $\mathit{BM}$平分 $\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{MF}\perp \mathit{BD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{MF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{CN}=3$， $\mathit{BN}=4$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．

（1）求证：直线是的切线．

（2）过点作于点，交于点，若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$分别切 $\odot O$于 $A$， $B$两点， $\mathit{CD}$与 $\odot O$有公共点 $E$，且 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，与边 $\mathit{AC}$相交于点 $G$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AG}}=\stackrel{̂}{\mathit{EG}}$，连接 $\mathit{GO}$并延长交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）求证：

① $\mathit{AO}=\mathit{AG}$．

② $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BD}=6$，求图形中阴影部分的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{AC}$ ，点 $P$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上的动点，连接 $\mathit{OP}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}//\mathit{OP}$ ，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PD}$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当四边形 $\mathit{POBD}$ 是平行四边形时，求 $\angle \mathit{APO}$ 的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$相切于点 $B$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{OC}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{AD}=4$，直径 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象的顶点坐标是 $(2,1)$，并且经过点 $(4,2)$，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线交于 $B$， $D$两点，以 $\mathit{BD}$为直径作圆，圆心为点 $C$，圆 $C$与直线 $m$交于对称轴右侧的点 $M(t,1)$，直线 $m$上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$与 $x$轴相切；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp m$，垂足为 $E$，再过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp m$，垂足为 $F$，求 $\mathit{BE}:\mathit{MF}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$， $O$是 $\mathit{AB}$上一点，经过 $A$， $E$两点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{DE}$，作 $\angle \mathit{DEA}$的平分线 $\mathit{EF}$交 $\odot O$于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\sin \angle \mathit{EFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AF}=5\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{AC}$的长．