如图，已知抛物线yax2bxc(a≠0)的图象的顶点坐标是(

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象的顶点坐标是 $(2, 1)$ ，并且经过点 $(4, 2)$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点，以 $BD$ 为直径作圆，圆心为点 $C$ ，圆 $C$ 与直线 $m$ 交于对称轴右侧的点 $M (t, 1)$ ，直线 $m$ 上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$ 与 $x$ 轴相切；

（3）过点 $B$ 作 $BE ⊥ m$ ，垂足为 $E$ ，再过点 $D$ 作 $DF ⊥ m$ ，垂足为 $F$ ，求 $BE : MF$ 的值．

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（本题9分）某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：

①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；
②从不同住宅楼中随机选取200名居民；
③选取社区内200名在校学生．
（1）上述调查方式最合理的是；
（2）将最合理的调查方式得到的数据制成扇形统计图（如图1）和频数分布直方图（如图2），在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有人；
（3）请估计该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．