在平面直角坐标系中的点
和图形
,给出如下的定义:若在图形
上存在一点
,使得
、
两点间的距离小于或等于1,则称
为图形
的关联点.
(1)当的半径为2时,
①在点,
,
,
,
,
中,
的关联点是 .
②点在直线
上,若
为
的关联点,求点
的横坐标的取值范围.
(2)的圆心在
轴上,半径为2,直线
与
轴、
轴交于点
、
.若线段
上的所有点都是
的关联点,直接写出圆心
的横坐标的取值范围.
对于平面直角坐标系中的图形
,
,给出如下定义:
为图形
上任意一点,
为图形
上任意一点,如果
,
两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形
,
间的“闭距离“,记作
.
已知点,
,
.
(1)求(点
,
;
(2)记函数的图象为图形
.若
,直接写出
的取值范围;
(3)的圆心为
,半径为1.若
,直接写出
的取值范围.
已知,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的对称轴是直线 , 为抛物线的顶点,点 在 轴 点的上方,且 .
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标;
(2)求证:直线 是 外接圆的切线;
(3)在直线 上方的抛物线上找一点 ,使 ,求点 的坐标;
(4)在坐标轴上找一点 ,使以点 、 、 为顶点的三角形与 相似,直接写出点 的坐标.
如图,在 中, ,点 , 分别为 , 的中点,连接 ,作 与 相切于点 ,在 边上取一点 ,使 ,连接 .
(1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由;
(2)当 , 时,求 的半径.
如图,直线 经过 上的点 , 为 的内接三角形,并且 .
(1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由;
(2)若 , 的半径为1,求图中阴影部分的面积.(结果保留
如图,在 中, ,点 在 上,以 为半径的 交 于点 , 的垂直平分线交 于点 ,交 于点 ,连接 .
(1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由;
(2)若 , , ,求线段 的长.
我们把方程 称为圆心为 、半径长为 的圆的标准方程.例如,圆心为 、半径长为3的圆的标准方程是 .在平面直角坐标系中, 与轴交于点 , ,且点 的坐标为 ,与 轴相切于点 ,过点 , , 的抛物线的顶点为 .
(1)求 的标准方程;
(2)试判断直线 与 的位置关系,并说明理由.
如图, 中, , . 是底边 上的一个动点 与 、 不重合),以 为圆心, 为半径的 与射线 交于点 ,射线 交射线 于点 .
(1)若点 在线段 的延长线上,设 , ,求 关于 的函数关系式,并写出 的取值范围.
(2)当 时,试说明射线 与 是否相切.
(3)连接 ,若 ,求 的长.
阅读材料:
在平面直角坐标系 中, 点 , 到直线 的距离公式为: .
例如: 求点 到直线 的距离 .
解: 由直线 知, , , ,
点 到直线 的距离为 .
根据以上材料, 解决下列问题:
问题 1 :点 到直线 的距离为 ;
问题 2 :已知: 是以点 为圆心, 1 为半径的圆, 与直线 相切, 求实数 的值;
问题 3 :如图, 设点 为问题 2 中 上的任意一点, 点 , 为直线 上的两点, 且 ,请求出 的最大值和最小值 .
如图, 中, , . 是底边 上的一个动点 与 、 不重合),以 为圆心, 为半径的 与射线 交于点 ,射线 交射线 于点 .
(1)若点 在线段 的延长线上,设 , ,求 关于 的函数关系式,并写出 的取值范围.
(2)当 时,试说明射线 与 是否相切.
(3)连接 ,若 ,求 的长.
如图,已知 、 是 的两条割线, 与 交于 、 两点, 过圆心 且与 交于 、 两点, 平分 .
(1)求证: ;
(2)过点 的切线交 于 ,若 , ,求 的值. 提示:
如图, 中, , 为 的平分线,以 上一点 为圆心的半圆经过 、 两点,交 于 ,连接 交 于点 .
(1)判断 与 的位置关系,并说明理由;
(2)若 , ,求 的长.
如图,在 中, .
(1)作 的平分线交 边于点 ,再以点 为圆心, 的长为半径作 ;(要求:不写做法,保留作图痕迹)
(2)判断(1)中 与 的位置关系,直接写出结果.
已知平面直角坐标系中,点 , 和直线 (其中 , 不全为 ,则点 到直线 的距离 可用公式 来计算.
例如:求点 到直线 的距离,因为直线 可化为 ,其中 , , ,所以点 到直线 的距离为: .
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点 到直线 的距离;
(2)在(1)的条件下, 的半径 ,判断 与直线 的位置关系,若相交,设其弦长为 ,求 的值;若不相交,说明理由.