如图1, 为半圆的圆心, 、 为半圆上的两点,且 .连接 并延长,与 的延长线相交于点 .
(1)求证: ;
(2) 与 , 分别交于点 , .
①若 ,如图2,求证: ;
②若圆的半径为2, ,如图3,求 的值.
如图1,四边形 内接于 , 为直径, 上存在点 ,满足 ,连结 并延长交 的延长线于点 , 与 交于点 .
(1)若 ,请用含 的代数式表示 .
(2)如图2,连结 , .求证: .
(3)如图3,在(2)的条件下,连结 , .
①若 ,求 的周长.
②求 的最小值.
如图,点 为以 为直径的半圆的圆心,点 , 在直径 上,点 , 在 上,四边形 为正方形,点 在 上运动(点 与点 , 不重合),连接 并延长交 的延长线于点 ,连接 交 于点 ,连接 .
(1)求 的值;
(2)求 的值;
(3)令 , ,直径 , 是常数),求 关于 的函数解析式,并指明自变量 的取值范围.
如图,点 在以 为直径的 上,过 作 的切线交 延长线于点 , 于点 ,交 于点 ,连接 , .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)若 , ,求 的长.
如图, 为 的直径, 为 上一点,连接 , , 为 延长线上一点,连接 ,且 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 的半径为 , 的面积为 ,求 的长;
(3)在(2)的条件下, 为 上一点,连接 交线段 于点 ,若 ,求 的长.
如图,锐角三角形 内接于 , 的平分线 交 于点 ,交 边于点 ,连接 .
(1)求证: .
(2)已知 , ,求线段 的长(用含 , 的代数式表示).
(3)已知点 在线段 上(不与点 ,点 重合),点 在线段 上(不与点 ,点 重合), ,求证: .
如图1, 为 上一点,点 在直径 的延长线上,且 .
(1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由;
(2)若 , ,求 的半径;
(3)如图2,在(2)的条件下, 的平分线 交 于点 ,交 于点 ,连结 .求 的值.
如图,在 中, , 是 的外接圆, 是直径,交 于点 ,点 在 上,连接 , 过点 作 交 的延长线于点 ,延长 交 于点 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 和 的长.
如图, 是 的直径,点 是 上异于 、 的点,连接 、 ,点 在 的延长线上,且 ,点 在 的延长线上,且 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 的长.
如图, 的半径为1,点 是 的直径 延长线上的一点, 为 上的一点, , .
(1)求证:直线 是 的切线;
(2)求 的面积;
(3)点 在 上运动(不与 、 重合),过点 作 的垂线,与 的延长线交于点 .
①当点 运动到与点 关于直径 对称时,求 的长;
②当点 运动到什么位置时, 取到最大值,并求出此时 的长.
如图, 是 的内接三角形,过点 作 的切线交 的延长线于点 , 是 的直径,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , 于点 , , ,求 的值.
如图,在锐角三角形 中, 是 边上的高,以 为直径的 交 于点 ,交 于点 ,过点 作 ,垂足为 ,交 于点 ,交 于点 ,连接 , , .
(1)求证: ;
(2)若 , , ,求 的长.
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图, AB是⊙ O的直径,点 F在⊙ O上,∠ BAF的平分线 AE交⊙ O于点 E,过点 E作 ,交 AF的延长线于点 D,延长 DE、 AB相交于点 C.
(1)求证: CD是⊙ O的切线;
(2)若⊙ O的半径为5, ,求 BC的长.