初中数学圆解答题

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的弦，点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $N$，分别连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{CN}$．

（1） $\mathit{EM}$与 $\mathit{BE}$的数量关系是 　　；

（2）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{EB}}=\stackrel{̂}{\mathit{CN}}$；

（3）若 $\mathit{AM}=\sqrt{3}$， $\mathit{MB}=1$，求阴影部分图形的面积．

如图， $\odot O$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $D$， $E$， $\mathit{AE}$是直径，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线时，求 $\odot O$的半径 $r$与等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长 $a$之间的数量关系．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AD}=\mathit{AB}=1$， $\mathit{DC}=\sqrt{5}$，以 $A$为圆心， $\mathit{AD}$为半径作圆，延长 $\mathit{CD}$交 $\odot A$于点 $F$，延长 $\mathit{DA}$交 $\odot A$于点 $E$，连结 $\mathit{BF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$为 $\odot A$的切线；

（2）求 $\cos \angle \mathit{EDF}$的值；

（3）求线段 $\mathit{BG}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\angle B=30°$，求 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{DE}}$的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $F$是 $\mathit{AD}$延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，且 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{CAD}$．

（1）求证： $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos B=\frac{3}{5}$， $\mathit{AD}=2$，求 $\mathit{FD}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）连接 $\mathit{BO}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $\odot O$于点 $G$，连接 $\mathit{GC}$．若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{OE}=3$，求 $\mathit{GC}$和 $\mathit{OF}$的长．

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图， $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}＝90°$， $\mathit{AC}＝3$， $\mathit{BC}＝4$，点O在线段 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{OC}=\frac{3}{2}$，以O为圆心． $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）研究过短中，小明同学发现 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AE}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}＝90°$， $\mathit{OA}＝\mathit{OB}$，点C是 $\mathit{AB}$的中点，以OC为半径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OC}＝2$，求 $\mathit{OA}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$边于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，设 $\odot O$的半径为 $R$， $\mathit{AF}=h$．

（1）过点 $D$作直线 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，求证： $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{AB}·\mathit{AC}=2R·h$；

（3）设 $\angle \mathit{BAC}=2\alpha$，求 $\frac{\mathit{AB}+\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值（用含 $\alpha$的代数式表示）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $D$、 $E$，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{CBF}$．

（1）求证： $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的直径为4， $\mathit{CF}=6$，求 $\tan \angle \mathit{CBF}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle D=60°$，对角线 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$， $\odot O$经过点 $A$， $B$，与 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{AO}$并延长与 $\odot O$交于点 $F$，与 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{EB}$．

（1）求证： $\mathit{EC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$的长（结果保留 $\pi )$．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，射线 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $F$，点 $C$为劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=30°$， $\mathit{AB}=4$，求阴影部分的面积．