初中数学圆解答题

如图，在直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $H$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，

$\mathit{AH}$的延长线和三角形 $\mathit{ABC}$的外接圆 $O$相交于点 $D$，连接 $\mathit{DB}$．

（1）求证： $\mathit{DH}=\mathit{DB}$；

（2）过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$的延长线分别于点 $E$、 $F$，已知 $\mathit{CE}=1$，圆 $O$的直径为5．

①求证： $\mathit{EF}$为圆 $O$的切线；

②求 $\mathit{DF}$的长．

阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_1{A}_2{A}_3$内接于 $\odot O$，点 $P$是 $\stackrel{̂}{A_1{A}_2}$上的任意一点，连接 $P{A}_1$， $P{A}_2$， $P{A}_3$，可证： $P{A}_1+P{A}_2=P{A}_3$，从而得到： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $\angle P{A}_{1}M=60°$， $A_{1}M$交 $A_{2}P$的延长线于点 $M$．

$\because$△ $A_1{A}_2{A}_3$是等边三角形，

$\therefore \angle A_3{A}_1{A}_2=60°$，

$\therefore \angle A_3{A}_{1}P=\angle A_2{A}_{1}M$

又 $A_3{A}_1=A_2{A}_1$， $\angle A_1{A}_{3}P=\angle A_1{A}_{2}P$，

$\therefore$△ $A_1{A}_{3}P\cong$△ $A_1{A}_{2}M$

$\therefore P{A}_3=M{A}_2=P{A}_2+\mathit{PM}=P{A}_2+P{A}_1$．

$\therefore \frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3}=\frac{1}{2}$，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正方形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$”，其余条件不变，请问： $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4}$还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_1{A}_2{A}_3$”改为“正五边形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$”，其余条件不变，则 $\frac{P{A}_1+P{A}_2}{P{A}_1+P{A}_2+P{A}_3+P{A}_4+P{A}_5}=$　　（只写出结果）．

已知：如图，以等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，求由 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{EF}$围成的阴影部分面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $O$为 $\mathit{AB}$上一点，经过点 $A$， $D$的 $\odot O$分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{OF}$交 $\mathit{AD}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{AF}=y$，试用含 $x$， $y$的代数式表示线段 $\mathit{AD}$的长；

（3）若 $\mathit{BE}=8$， $\sin B=\frac{5}{13}$，求 $\mathit{DG}$的长，

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{AB}$，与过点 $A$的切线相交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径， $\mathit{AC}$为弦，过点 $C$作直线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$．若 $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle E=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{DE}$与半圆相切；

（2）若 $\mathit{BE}=3$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{CAE}$交 $\odot O$于点 $D$，且 $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{CD}=3\sqrt{2}$，求弦 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$， $E$在 $\odot O$上， $\angle A=2\angle \mathit{BDE}$，点 $C$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\angle C=\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=2$， $\mathit{EF}=\sqrt{13}$，求 $\odot O$的半径长．

如图， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，点 $B$在 $\odot O$上，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $A$， $A{B}^2=\mathit{AD}·\mathit{AC}$， $\mathit{OE}//\mathit{BD}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{OE}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\cos A=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{OF}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$．且 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{4}{3}\mathit{DC}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$的值．

如图，在中，直径垂直于不过圆心的弦，垂足为点，连接，点在上，且

（1）求证：；

（2）过点作的切线交的延长线于点，试判断与是否相等，并说明理由；

（3）设半径为4，点为中点，点在上，求线段的最小值．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象的顶点坐标是 $(2,1)$，并且经过点 $(4,2)$，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线交于 $B$， $D$两点，以 $\mathit{BD}$为直径作圆，圆心为点 $C$，圆 $C$与直线 $m$交于对称轴右侧的点 $M(t,1)$，直线 $m$上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$与 $x$轴相切；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp m$，垂足为 $E$，再过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp m$，垂足为 $F$，求 $\mathit{BE}:\mathit{MF}$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$是圆 $O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，与 $\mathit{AC}$平行的圆 $O$的一条切线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $M$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，切点为 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CN}$；

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\cos \angle \mathit{DFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AN}=2\sqrt{10}$，求圆 $O$的直径的长度．

如图， $\odot O$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$分别相切于点 $C$、 $D$，与边 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{OA}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$边于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DF}//\mathit{AO}$；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AB}=10$，求 $\mathit{CG}$的长．