初中数学圆解答题

如图， $\odot O$的半径为 $R$，其内接锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A$、 $\angle B$、 $\angle C$所对的边分别是 $a$、 $b$、 $c$．

（1）求证： $\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$；

（2）若 $\angle A=60°$， $\angle C=45°$， $\mathit{BC}=4\sqrt{3}$，利用（1）的结论求 $\mathit{AB}$的长和 $\sin \angle B$的值．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $\mathit{AOB}$的直径， $C$是半圆上的一点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交半圆于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $H$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是半圆的切线；

（2）若 $\mathit{DH}=2\sqrt{5}$， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，求半圆的直径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是斜边 $\mathit{AB}$上的中线，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $M$、 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$．

（1）若 $\odot O$的半径为 $\frac{5}{2}$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BN}$的长；

（2）求证： $\mathit{NE}$与 $\odot O$相切．

如图1， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AC}$是一条弦， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连结 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，且 $\mathit{AF}=\mathit{FG}$．

（1）求证：点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$；

（2）如图2所示，延长 $\mathit{BA}$至点 $H$，使 $\mathit{AH}=\mathit{AO}$，连结 $\mathit{DH}$．若点 $E$是线段 $\mathit{AO}$的中点．求证： $\mathit{DH}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点．过点 $D$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）求证： $\angle A=\angle \mathit{DOB}$；

（2） $\mathit{DE}$与 $\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{6}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的直径， $D$为 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{AB}=8$，求 $\mathit{CE}$的长．

如图①，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=4$，点 $D$为边 $\mathit{AB}$中点，点 $E$为边 $\mathit{BC}$中点，将 $\mathit{\Delta BDE}$绕点 $B$逆时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽180)$．

（1）如图②，当 $0<\alpha <180$时，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CE}$．求证： $\mathit{\Delta BDA}\backsim \mathit{\Delta BEC}$；

（2）如图③，直线 $\mathit{CE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $G$．在旋转过程中， $\angle \mathit{AGC}$的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将 $\mathit{\Delta BDE}$从图①位置绕点 $B$逆时针方向旋转 $180°$，求点 $G$的运动路程．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$．

（1）如图①，点 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上，以点 $O$为圆心， $\mathit{OB}$长为半径的圆交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，与边 $\mathit{AC}$相切于点 $F$．求证： $\angle 1=\angle 2$；

（2）在图②中作 $\odot M$，使它满足以下条件：

①圆心在边 $\mathit{AB}$上；②经过点 $B$；③与边 $\mathit{AC}$相切．

（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$是弧 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{OD}$分别交于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{DO}//\mathit{AC}$；

（2）求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{DA}=D{C}^2$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{CAD}=\frac{1}{2}$，求 $\sin \angle \mathit{CDA}$的值．

如图， $\odot O$的弦 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $P$，且 $\mathit{AB}=\mathit{CD}$．求证： $\mathit{PA}=\mathit{PC}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\odot O$交于点 $F$，弦 $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）试判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\angle \mathit{BAC}=60°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

已知平面图形 $S$，点 $P$、 $Q$是 $S$上任意两点，我们把线段 $\mathit{PQ}$的长度的最大值称为平面图形 $S$的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　     　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　   　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,0)$、 $B(1,0)$， $C$是坐标平面内的点，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CA}$所形成的图形为 $S$，记 $S$的宽距为 $d$．

①若 $d=2$，用直尺和圆规画出点 $C$所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$在 $\odot M$上运动， $\odot M$的半径为1，圆心 $M$在过点 $(0,2)$且与 $y$轴垂直的直线上．对于 $\odot M$上任意点 $C$，都有 $5⩽d⩽8$，直接写出圆心 $M$的横坐标 $x$的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$与 $\odot O$相切于点 $C$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BCE}=\angle \mathit{BCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=10$， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$，求 $\odot O$的半径．