初中数学圆计算题

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点，经过点 $C$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$， $\mathit{AD}\perp \mathit{EC}$交 $\mathit{EC}$的延长线于点 $D$， $\mathit{AD}$交 $\odot O$于 $F$， $\mathit{FM}\perp \mathit{AB}$于 $H$，分别交 $\odot O$、 $\mathit{AC}$于 $M$、 $N$，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$；

（2）若 $\cos M=\frac{4}{5}$， $\mathit{BE}=1$，

①求 $\odot O$的半径；

②求 $\mathit{FN}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $P$为 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{PA}$，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ADB}$．

（1）求证： $\mathit{PA}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{PB}$长；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$，使 $\mathit{\Delta ABC}$为“智慧三角形”（画出点 $C$的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $F$是 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CF}=\frac{1}{4}\mathit{CD}$，试判断 $\mathit{\Delta AEF}$是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1，点 $Q$是直线 $y=3$上的一点，若在 $\odot O$上存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta OPQ}$为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$分别交于 $D$、 $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AE}=4$， $\cos A=\frac{2}{5}$，求 $\mathit{DF}$的长．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $D$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{AE}$为直径作 $\odot O$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，已知 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的直径， $A$为 $\odot O$上（异于 $B$、 $F)$一点， $\odot O$的切线 $\mathit{MA}$与 $\mathit{FB}$的延长线交于点 $M$； $P$为 $\mathit{AM}$上一点， $\mathit{PB}$的延长线交 $\odot O$于点 $C$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点且 $\mathit{PA}=\mathit{PD}$， $\mathit{AD}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$；

（2）若 $\mathit{ED}$、 $\mathit{EA}$的长是一元二次方程 $x^2-5x+5=0$的两根，求 $\mathit{BE}$的长；

（3）若 $\mathit{MA}=6\sqrt{2}$， $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{1}{3}$，求 $\mathit{AB}$的长．

（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $\odot O\mathrm{）}$．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $\alpha$的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$在图1所示的 $\odot O$上，现在利用这个工具尺在点 $A$处测得 $\alpha$为 $31°$，在点 $A$所在子午线往北的另一个观测点 $B$，用同样的工具尺测得 $\alpha$为 $67°$． $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PQ}\perp \mathit{ON}$．

（1）求 $\angle \mathit{POB}$的度数；

（2）已知 $\mathit{OP}=6400\mathit{km}$，求这两个观测点之间的距离即 $\odot O$上 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的长． $(\pi$取 $3.1)$

在三角形纸片 $\mathit{ABC}$（如图1）中， $\angle \mathit{BAC}=78°$， $\mathit{AC}=10$．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1） $\angle \mathit{ABC}=$　     　 $°$；

（2）求正五边形 $\mathit{GHMNC}$的边 $\mathit{GC}$的长．

参考值： $\sin 78°\approx 0.98$， $\cos 78°\approx 0.21$， $\tan 78°\approx 4.7$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过点 $O$作 $\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于 $P$， $\mathit{CP}=\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\angle \mathit{BAO}=25°$，点 $Q$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$上的一点．

①求 $\angle \mathit{AQB}$的度数；

②若 $\mathit{OA}=18$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$的长．

一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $x$轴的负半轴相交于点 $A$，与 $y$轴的正半轴相交于点 $B$，且 $\sin \angle \mathit{ABO}=\frac{\sqrt{3}}{2}$． $\mathit{\Delta OAB}$的外接圆的圆心 $M$的横坐标为 $-3$．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $\mathit{BC}=1$，以边 $\mathit{AC}$上一点 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径的 $\odot O$经过点 $B$．

（1）求 $\odot O$的半径；

（2）点 $P$为劣弧 $\mathit{AB}$中点，作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $Q$，求 $\mathit{OQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{PC}$，求 $\tan \angle \mathit{PCA}$的值．

如图，在 $\odot O$中，半径 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$，过点 $\mathit{OA}$的中点 $C$作 $\mathit{FD}//\mathit{OB}$交 $\odot O$于 $D$、 $F$两点，且 $\mathit{CD}=\sqrt{3}$，以 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径作 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$，交 $\mathit{OB}$于 $E$点．

（1）求 $\odot O$的半径 $\mathit{OA}$的长；

（2）计算阴影部分的面积．

已知点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $y=\mathit{kx}+b$，则点 $P$到直线 $y=\mathit{kx}+b$的距离证明可用公式 $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$计算．

例如：求点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离．

解：因为直线 $y=3x+7$，其中 $k=3$， $b=7$．

所以点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离为： $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|3\times (-1)-2+7|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $P(1,-1)$到直线 $y=x-1$的距离；

（2）已知 $\odot Q$的圆心 $Q$坐标为 $(0,5)$，半径 $r$为2，判断 $\odot Q$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系并说明理由；

（3）已知直线 $y=-2x+4$与 $y=-2x-6$平行，求这两条直线之间的距离．

（1）如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$．

（2）如图2， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$， $\mathit{OP}$与 $\odot O$相交于点 $C$，连接 $\mathit{CB}$， $\angle \mathit{OPA}=40°$，求 $\angle \mathit{ABC}$的度数．