（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $\odot O\mathrm{）}$．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $\alpha$的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$在图1所示的 $\odot O$上，现在利用这个工具尺在点 $A$处测得 $\alpha$为 $31°$，在点 $A$所在子午线往北的另一个观测点 $B$，用同样的工具尺测得 $\alpha$为 $67°$． $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PQ}\perp \mathit{ON}$．

（1）求 $\angle \mathit{POB}$的度数；

（2）已知 $\mathit{OP}=6400\mathit{km}$，求这两个观测点之间的距离即 $\odot O$上 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的长． $(\pi$取 $3.1)$