已知：如图，在ΔABC中，∠C90°，∠BAC的平分线D交B

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度中等
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已知：如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $D$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，以 $AE$ 为直径作 $⊙ O$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 3$ ， $BC = 4$ ，求 $BE$ 的长．

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如图，大海中某灯塔 $P$ 周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$ 处观察灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$ 处，这时观察灯塔 $P$ 恰好在北偏东 $45 °$ 方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x > x + 1 \\ 3 x < 2 (x + 1) \end{matrix}$ ．

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计算： $2 \sin 30 ° + 3^{- 1} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6 cm$ ， $AD = 8 cm$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿对角线 $BD$ 向点 $D$ 匀速运动，速度为 $4 cm / s$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ BD$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以 $PQ$ 为一边作正方形 $PQMN$ ，使得点 $N$ 落在射线 $PD$ 上，点 $O$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 向点 $C$ 匀速运动，速度为 $3 cm / s$ ，以 $O$ 为圆心， $0.8 cm$ 为半径作 $⊙ O$ ，点 $P$ 与点 $O$ 同时出发，设它们的运动时间为 $t$ （单位： $s) (0 < t < \frac{8}{5})$ ．

（1）如图 1 ，连接 $DQ$ 平分 $∠ BDC$ 时， $t$ 的值为　　；

（2）如图 2 ，连接 $CM$ ，若 $ΔCMQ$ 是以 $CQ$ 为底的等腰三角形，求 $t$ 的值；

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点 $O$ 始终在 $QM$ 所在直线的左侧；

②如图 3 ，在运动过程中，当 $QM$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $t$ 的值；并判断此时 $PM$ 与 $⊙ O$ 是否也相切？说明理由．

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如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $B (2, n)$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，点 $P (3 n - 4, 1)$ 是该反比例函数图象上的一点，且 $∠ PBC = ∠ ABC$ ，求反比例函数和一次函数的表达式．

题型：未知
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