已知点 P ( x 0 , y 0 ) 和直线 y = kx + b ,则点 P 到直线 y = kx + b 的距离证明可用公式 d = | k x 0 - y 0 + b | 1 + k 2 计算.
例如:求点 P ( - 1 , 2 ) 到直线 y = 3 x + 7 的距离.
解:因为直线 y = 3 x + 7 ,其中 k = 3 , b = 7 .
所以点 P ( - 1 , 2 ) 到直线 y = 3 x + 7 的距离为: d = | k x 0 - y 0 + b | 1 + k 2 = | 3 × ( - 1 ) - 2 + 7 | 1 + 3 2 = 2 10 = 10 5 .
根据以上材料,解答下列问题:
(1)求点 P ( 1 , - 1 ) 到直线 y = x - 1 的距离;
(2)已知 ⊙ Q 的圆心 Q 坐标为 ( 0 , 5 ) ,半径 r 为2,判断 ⊙ Q 与直线 y = 3 x + 9 的位置关系并说明理由;
(3)已知直线 y = - 2 x + 4 与 y = - 2 x - 6 平行,求这两条直线之间的距离.
如图①,抛物线 y = - x 2 + ( a + 1 ) x - a 与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C .已知 ΔABC 的面积是6.
(1)求 a 的值;
(2)求 ΔABC 外接圆圆心的坐标;
(3)如图②, P 是抛物线上一点, Q 为射线 CA 上一点,且 P 、 Q 两点均在第三象限内, Q 、 A 是位于直线 BP 同侧的不同两点,若点 P 到 x 轴的距离为 d , ΔQPB 的面积为 2 d ,且 ∠ PAQ = ∠ AQB ,求点 Q 的坐标.
已知矩形 ABCD 中, AB = 5 cm ,点 P 为对角线 AC 上的一点,且 AP = 2 5 cm .如图①,动点 M 从点 A 出发,在矩形边上沿着 A → B → C 的方向匀速运动(不包含点 C ).设动点 M 的运动时间为 t ( s ) , ΔAPM 的面积为 S ( c m 2 ) , S 与 t 的函数关系如图②所示.
(1)直接写出动点 M 的运动速度为 cm / s , BC 的长度为 cm ;
(2)如图③,动点 M 重新从点 A 出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点 N 从点 D 出发,在矩形边上沿着 D → C → B 的方向匀速运动,设动点 N 的运动速度为 v ( cm / s ) .已知两动点 M , N 经过时间 x ( s ) 在线段 BC 上相遇(不包含点 C ),动点 M , N 相遇后立即同时停止运动,记此时 ΔAPM 与 ΔDPN 的面积分别为 S 1 ( c m 2 ) , S 2 ( c m 2 )
①求动点 N 运动速度 v ( cm / s ) 的取值范围;
②试探究 S 1 · S 2 是否存在最大值,若存在,求出 S 1 · S 2 的最大值并确定运动时间 x 的值;若不存在,请说明理由.
如图, A 为反比例函数 y = k x (其中 x > 0 ) 图象上的一点,在 x 轴正半轴上有一点 B , OB = 4 .连接 OA , AB ,且 OA = AB = 2 10 .
(1)求 k 的值;
(2)过点 B 作 BC ⊥ OB ,交反比例函数 y = k x (其中 x > 0 ) 的图象于点 C ,连接 OC 交 AB 于点 D ,求 AD DB 的值.
先化简,再求值: x - 3 x 2 + 6 x + 9 ÷ ( 1 - 6 x + 3 ) ,其中, x = 2 - 3 .
解不等式组: x + 1 < 5 2 ( x + 4 ) > 3 x + 7