在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作 , , 等大小的角,可以采用如下方法:
操作感知:
第一步:对折矩形纸片 ,使 与 重合,得到折痕 ,把纸片展开(如图1 .
第二步:再一次折叠纸片,使点 落在 上,并使折痕经过点 ,得到折痕 ,同时得到线段 (如图 .
猜想论证:
(1)若延长 交 于点 ,如图3所示,试判定 的形状,并证明你的结论.
拓展探究:
(2)在图3中,若 , ,当 , 满足什么关系时,才能在矩形纸片 中剪出符合(1)中结论的三角形纸片 ?
如图,在矩形 中, , ,点 , 分别是边 , 上的动点,点 不与 , 重合,且 , 是五边形 内满足 且 的点.现给出以下结论:
① 与 一定互补;
②点 到边 , 的距离一定相等;
③点 到边 , 的距离可能相等;
④点 到边 的距离的最大值为 .
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
如图,在平面直角坐标系中,矩形的边,.若不改变矩形的形状和大小,当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当时,求点的坐标;
(2)设的中点为,连接、,当四边形的面积为时,求的长;
(3)当点移动到某一位置时,点到点的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时的值.
如图,矩形 中,点 为 上一点, 为 的中点,且 .
(1)当 为 中点时,求证: ;
(2)当 时,求 的值;
(3)设 , ,作点 关于 的对称点 ,连接 , ,若点 到 的距离是 ,求 的值.
如图,抛物线过点,矩形的边在线段上(点在点的左侧),点、在抛物线上,的平分线交于点,点是的中点,已知,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)、分别为轴,轴上的动点,顺次连接、、、构成四边形,求四边形周长的最小值;
(3)在轴下方且在抛物线上是否存在点,使中边上的高为?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)矩形不动,将抛物线向右平移,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、,且直线平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
如图一,在射线的一侧以为一条边作矩形,,,点是线段上一动点(不与点重合),连结,过点作的垂线交射线于点,连接.
(1)求的大小;
(2)问题探究:动点在运动的过程中,
①是否能使为等腰三角形,如果能,求出线段的长度;如果不能,请说明理由.
②的大小是否改变?若不改变,请求出的大小;若改变,请说明理由.
(3)问题解决:
如图二,当动点运动到的中点时,与的交点为,的中点为,求线段的长度.
如图,在矩形 中,点 为坐标原点,点 的坐标为 ,点 、 在坐标轴上,点 在 边上,直线 ,直线 .
(1)分别求直线 与 轴,直线 与 的交点坐标;
(2)已知点 在第一象限,且是直线 上的点,若 是等腰直角三角形,求点 的坐标;
(3)我们把直线 和直线 上的点所组成的图形为图形 .已知矩形 的顶点 在图形 上, 是坐标平面内的点,且 点的横坐标为 ,请直接写出 的取值范围(不用说明理由).
已知:如图,在矩形 中, , ,对角线 , 交于点 .点 从点 出发,沿 方向匀速运动,速度为 ;同时,点 从点 出发,沿 方向匀速运动,速度为 ;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接 并延长,交 于点 ,过点 作 ,交 于点 .设运动时间为 ,解答下列问题:
(1)当 为何值时, 是等腰三角形?
(2)设五边形 的面积为 ,试确定 与 的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻 ,使 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻 ,使 平分 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的 边在 轴的正半轴上, 边在 轴的正半轴上,点 的坐标为 ,反比例函数 的图象与 交于点 ,与对角线 交于点 ,与 交于点 ,连接 , , , .下列结论:
① ;② ;③ ;④ .
其中正确的结论有
A. |
4个 |
B. |
3个 |
C. |
2个 |
D. |
1个 |
如图1,在矩形中,,,是边上一点,连接,将矩形沿折叠,顶点恰好落在边上点处,延长交的延长线于点.
(1)求线段的长;
(2)如图2,,分别是线段,上的动点(与端点不重合),且,设,.
①写出关于的函数解析式,并求出的最小值;
②是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的顶点 , 在 轴的正半轴上,反比例函数 的图象经过顶点 ,分别与对角线 ,边 交于点 , ,连接 , .若点 为 的中点, 的面积为1,则 的值为
A. |
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B. |
|
C. |
2 |
D. |
3 |
如图,在矩形 中, ,对角线相交于点 ,动点 从点 向点 运动(到点 即停止),点 是 上一动点,且满足 ,连结 .在点 、 运动过程中,则以下结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
①点 、 的运动速度不相等;
②存在某一时刻使 ;
③ 逐渐减小;
④ .
如图,在平面直角坐标系中,矩形 的 边在 轴的正半轴上, 边在 轴的正半轴上,点 的坐标为 ,反比例函数 的图象与 交于点 ,与对角线 交于点 ,与 交于点 ,连接 , , , .下列结论:
① ;② ;③ ;④ .
其中正确的结论有
A.4个B.3个C.2个D.1个
如图,矩形中,,,点,分别在边,上,点,分别在边,上,,交于点,记.
(1)若的值为1,当时,求的值.
(2)若的值为,求的最大值和最小值.
(3)若的值为3,当点是矩形的顶点,,时,求的值.