如图，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，矩形$\mathit{ABCD}$的边$\mathit{AB}=4$，$\mathit{BC}=6$．若不改变矩形$\mathit{ABCD}$的形状和大小，当矩形顶点$A$在$x$轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点$D$始终在$y$轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当$\angle \mathit{OAD}=30°$时，求点$C$的坐标；

（2）设$\mathit{AD}$的中点为$M$，连接$\mathit{OM}$、$\mathit{MC}$，当四边形$\mathit{OMCD}$的面积为$\frac{21}{2}$时，求$\mathit{OA}$的长；

（3）当点$A$移动到某一位置时，点$C$到点$O$的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时$\cos \angle \mathit{OAD}$的值．