初中数学矩形的性质解答题

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$于点 $M$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，将 （1）中的正方形 $\mathit{ABCD}$改为矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$于点 $M$，探究 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并证明你的结论．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，延长 $\mathit{CE}$， $\mathit{BA}$交于点 $F$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ACDF}$是平行四边形；

（2）当 $\mathit{CF}$平分 $\angle \mathit{BCD}$时，写出 $\mathit{BC}$与 $\mathit{CD}$的数量关系，并说明理由．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 为矩形， $E$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上的一点．

（1）若 $\mathit{AC}=\mathit{EC}$ ，如图1，求证：四边形 $\mathit{BECD}$ 为平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{AD}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{AB}$ 上的点， $\mathit{AF}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{EG}\perp \mathit{AC}$ 于点 $G$ ，如图2，求证： $\mathit{\Delta DGF}$ 是等腰直角三角形．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{COD}=60°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，延长 $\mathit{CB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，连按 $\mathit{AE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADBE}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{OB}=\frac{5}{2}$，求四边形 $\mathit{ADBE}$的周长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$、 $C$分别在 $x$轴和 $y$轴正半轴上，点 $B$的坐标是 $(5,2)$，点 $P$是 $\mathit{CB}$边上一动点（不与点 $C$、点 $B$重合），连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$，过点 $O$作射线 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{CB}$边于点 $M$，且 $\angle \mathit{AOP}=\angle \mathit{COM}$，令 $\mathit{CP}=x$， $\mathit{MP}=y$．

（1）当 $x$为何值时， $\mathit{OP}\perp \mathit{AP}$？

（2）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在 $x$，使 $\mathit{\Delta OCM}$的面积与 $\mathit{\Delta ABP}$的面积之和等于 $\mathit{\Delta EMP}$的面积？若存在，请求 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$

已知矩形 $\mathit{ABCD}$的一条边 $\mathit{AD}=8$，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得顶点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上的 $P$点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $O$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$、 $\mathit{OA}$．若 $\mathit{\Delta OCP}$与 $\mathit{\Delta PDA}$的面积比为 $1:4$，求边 $\mathit{CD}$的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $\mathit{AO}$、线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{BP}$．动点 $M$在线段 $\mathit{AP}$上（点 $M$与点 $P$、 $A$不重合），动点 $N$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BN}=\mathit{PM}$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{PB}$于点 $F$，作 $\mathit{ME}\perp \mathit{BP}$于点 $E$．试问当动点 $M$、 $N$在移动的过程中，线段 $\mathit{EF}$的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $\mathit{EF}$的长度．

如图，点 $M$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$延长线上一点，以 $\mathit{AM}$为直径的 $\odot O$交矩形对角

线 $\mathit{AC}$于点 $F$，在线段 $\mathit{CD}$上取一点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，使 $\mathit{EC}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{3}{5}$， $\mathit{AF}=6$， $\mathit{MD}=2$，求 $\mathit{FC}$的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．