如图,矩形 ABCD 中,延长 AB 至 E ,延长 CD 至 F , BE = DF ,连接 EF ,与 BC 、 AD 分别相交于 P 、 Q 两点.
(1)求证: CP = AQ ;
(2)若 BP = 1 , PQ = 2 2 , ∠ AEF = 45 ° ,求矩形 ABCD 的面积.
(·黑龙江大庆)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D.E分别是BC、BA的中点,联结DE,F在DE延长线上,且AF=AE.(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
(·辽宁辽阳)菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,射线OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF. (1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是 ; (2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由; (3)在(1)的条件下,将∠MON的顶点移到AO的中点O′处,∠MO′N绕点O′旋转,仍满足∠MO′N+∠BCD=180°,射线O′M交直线BC于点E,射线O′N交直线CD于点F,当BC=4,且时,直接写出线段CE的长.
(·辽宁阜新)如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.(1)如图a,求证:△BCP≌△DCQ;(2)如图,延长BP交直线DQ于点E.①如图b,求证:BE⊥DQ;②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
(·辽宁朝阳)问题:如图(1),在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,试探究AD、DE、EB满足的等量关系. [探究发现] 小聪同学利用图形变换,将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH,连接EH,由已知条件易得∠EBH=90°,∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°.根据“边角边”,可证△CEH≌ ,得EH=ED. 在Rt△HBE中,由 定理,可得BH2+EB2=EH2,由BH=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是 . [实践运用] (1)如图(2),在正方形ABCD中,△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数; (2)在(1)条件下,连接BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及MN的长.
(·辽宁朝阳)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别是线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB=AC,从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,并给出证明,你选择的条件是 (只填写序号).