初中数学矩形的性质解答题

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\mathit{FC}$交 $\mathit{AD}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFE}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求图中阴影部分的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{COD}=60°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 ABCD中，过对角线 BD中点 O的直线分别交 AB， CD边于点 E、 F．

（1）求证：四边形 BEDF是平行四边形；

（2）只需添加一个条件，即 　　，可使四边形 BEDF为菱形．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$边上的一个动点，点 $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta FHC}$；

（2）设 $\mathit{AD}=a$，当四边形 $\mathit{EGFH}$是正方形时，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$，以 $\mathit{CD}$为一边向矩形外部作等腰直角 $\mathit{\Delta GDC}$， $\angle G=90°$．点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=a$，点 $P$沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DG}$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CG}$运动（与点 $G$不重合），在运动过程中始终保持线段 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$．设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$之间的距离为 $x$．

（1）若 $a=12$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上时，若四边形 $\mathit{AMQP}$的面积为48，则 $x$的值为　    　；

②在运动过程中，求四边形 $\mathit{AMQP}$的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{DG}$上时，要使四边形 $\mathit{AMQP}$的面积始终不小于50，求 $a$的取值范围．

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$、 $C$分别在 $x$轴和 $y$轴正半轴上，点 $B$的坐标是 $(5,2)$，点 $P$是 $\mathit{CB}$边上一动点（不与点 $C$、点 $B$重合），连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$，过点 $O$作射线 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{CB}$边于点 $M$，且 $\angle \mathit{AOP}=\angle \mathit{COM}$，令 $\mathit{CP}=x$， $\mathit{MP}=y$．

（1）当 $x$为何值时， $\mathit{OP}\perp \mathit{AP}$？

（2）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在 $x$，使 $\mathit{\Delta OCM}$的面积与 $\mathit{\Delta ABP}$的面积之和等于 $\mathit{\Delta EMP}$的面积？若存在，请求 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝5， E是 AD上的一个动点．

（1）如图1，连接 BD， O是对角线 BD的中点，连接 OE．当 OE＝ DE时，求 AE的长；

（2）如图2，连接 BE， EC，过点 E作 EF⊥ EC交 AB于点 F，连接 CF，与 BE交于点 G．当 BE平分∠ ABC时，求 BG的长；

（3）如图3，连接 EC，点 H在 CD上，将矩形 ABCD沿直线 EH折叠，折叠后点 D落在 EC上的点 D'处，过点 D′作 D′ N⊥ AD于点 N，与 EH交于点 M，且 AE＝1．

①求 $\frac{S_{△E{D}^{\text{'}}M}}{S_{△\mathit{EMN}}}$ 的值；

②连接 BE，△ D' MH与△ CBE是否相似？请说明理由．

已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{CF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{DF}$，求证： $\mathit{BF}＝\mathit{CD}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．

如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，，求四边形的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=4$ ，将 $\angle A$ 向内翻折，点 $A$ 落在 $\mathit{BC}$ 上，记为 $A_1$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ．若将 $\angle B$ 沿 $E{A}_1$ 向内翻折，点 $B$ 恰好落在 $\mathit{DE}$ 上，记为 $B_1$ ，则 $\mathit{AB}=$ 　 　．

阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 $\frac{1}{\sin \alpha }$的值叫做这个平行四边形的变形度．

（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是　　．

猜想证明：

（2）设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形面积为S₂，试猜想S₁，S₂， $\frac{1}{\sin \alpha }$之间的数量关系，并说明理由；

拓展探究：

（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且 $A{B}^2＝\mathit{AE}•\mathit{AD}$，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，E₁为E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为 $4\sqrt{\pi }(m>0)$，平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为 $2\sqrt{\pi }(m>0)$，试求∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁的度数．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．