初中数学三角形综合题试题

在等腰三角形中，，作交于点，交于点．

（1）在图1中，求证：；

（2）在图2中的线段上取一动点，过作交于点，作交于点，求证：；

（3）在图3中动点在线段的延长线上，类似（2）过作交的延长线于点，作交的延长线于点，求证：．

（1）已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形，其底边是 $\mathit{BC}$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上， $E$是直线 $\mathit{BC}$上一点，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{DCE}$，若 $\angle A=60°$（如图①）．求证： $\mathit{EB}=\mathit{AD}$；

（2）若将（1）中的“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上”改为“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；

（3）若将（1）中的“若 $\angle A=60°$”改为“若 $\angle A=90°$”，其它条件不变，则 $\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AD}}$的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

【问题情景】

利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．

例如：张老师给小聪提出这样一个问题：

如图1，在△ ABC中， AB＝3， BC＝6，问△ ABC的高 AD与 CE的比是多少？

小聪的计算思路是：

根据题意得： S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ BC• AD＝ $\frac{1}{2}$ AB• CE．

从而得2 AD＝ CE，∴ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{CE}}$ ＝ $\frac{1}{2}$

请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：

（1）【类比探究】

如图2，在▱ ABCD中，点 E、 F分别在 AD， CD上，且 AF＝ CE，并相交于点 O，连接 BE、 BF，

求证： BO平分角 AOC．

（2）【探究延伸】

如图3，已知直线 m∥ n，点 A、 C是直线 m上两点，点 B、 D是直线 n上两点，点 P是线段 CD中点，且∠ APB＝90°，两平行线 m、 n间的距离为4．求证： PA• PB＝2 AB．

（3）【迁移应用】

如图4， E为 AB边上一点， ED⊥ AD， CE⊥ CB，垂足分别为 D， C，∠ DAB＝∠ B， AB＝ $\sqrt{34}$ ， BC＝2， AC＝ $\sqrt{26}$ ，又已知 M、 N分别为 AE、 BE的中点，连接 DM、 CN．求△ DEM与△ CEN的周长之和．

如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、．

（1）求的长．

（2）若点是线段的中点，求的值．

（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得？

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A$为直角， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$．点 $P$， $Q$， $R$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点 $P$由点 $A$出发以每秒3个单位的速度向点 $B$运动，点 $Q$由点 $B$出发以每秒5个单位的速度向点 $C$运动，点 $R$由点 $C$出发以每秒4个单位的速度向点 $A$运动，在运动过程中：

（1）求证： $\mathit{\Delta APR}$， $\mathit{\Delta BPQ}$， $\mathit{\Delta CQR}$的面积相等；

（2）求 $\mathit{\Delta PQR}$面积的最小值；

（3）用 $t$（秒 $\left)\right(0⩽t⩽2)$表示运动时间，是否存在 $t$，使 $\angle \mathit{PQR}=90°$？若存在，请直接写出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则： $\mathit{AC}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $\mathit{AB}$边上中线 $\mathit{CE}$，由于 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，易得结论：① $\mathit{\Delta ACE}$为等边三角形；② $\mathit{BE}$与 $\mathit{CE}$之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$是边 $\mathit{CB}$上任意一点，连接 $\mathit{AD}$，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，且点 $E$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部，连接 $\mathit{BE}$．试探究线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$为边 $\mathit{CB}$延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(-\sqrt{3}$， $1)$，点 $B$是 $x$轴正半轴上的一动点，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，当 $C$点在第一象限内，且 $B(2,0)$时，求 $C$点的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=7.5$， $\mathit{AC}=9$， $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{81}{4}$．动点 $P$从 $A$点出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$点匀速运动，动点 $Q$从 $C$点同时出发，以相同的速度沿 $\mathit{CA}$方向向 $A$点匀速运动，当点 $P$运动到 $B$点时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，以 $\mathit{PQ}$为边作正 $\mathit{\Delta PQM}(P$、 $Q$、 $M$按逆时针排序），以 $\mathit{QC}$为边在 $\mathit{AC}$上方作正 $\mathit{\Delta QCN}$，设点 $P$运动时间为 $t$秒．

（1）求 $\cos A$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PQM}$与 $\mathit{\Delta QCN}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta PQM}}=\frac{9}{5}{S}_{\mathit{\Delta QCN}}$时，求 $t$的值；

（3）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PQM}$的某个顶点 $(Q$点除外）落在 $\mathit{\Delta QCN}$的边上．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{EAD}=\angle \mathit{EDA}$，点 $F$为 $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{AC}$的延长线的交点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{EF}$；

（2）判断 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{BD}$的长．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $\mathit{ABC}$，其中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，在 $\mathit{\Delta ABC}$的外侧分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为腰作了两个等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，分别取 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{BC}$的中点 $M$， $N$， $G$，连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{GN}$．小明发现了：线段 $\mathit{GM}$与 $\mathit{GN}$的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $\mathit{ABC}$换为一般的锐角三角形，其中 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $\mathit{\Delta ABC}$的内侧分别作等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，其它条件不变，试判断 $\mathit{\Delta GMN}$的形状，并给与证明．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$与点 $B$在 $\mathit{AC}$同侧， $\angle \mathit{DAC}>\angle \mathit{BAC}$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$，过点 $B$作 $\mathit{BE}//\mathit{DA}$交 $\mathit{DC}$于点 $E$， $M$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{ME}$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{ADC}=90°$时，线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系是　       　；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ADC}=60°$时，试探究线段 $\mathit{MD}$与 $\mathit{ME}$的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ADC}=\alpha$时，求 $\frac{\mathit{ME}}{\mathit{MD}}$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）