初中数学三角形综合题试题

（1）阅读理解：

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BC}$边上的中线 $\mathit{AD}$的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AD}$到点 $E$使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，再连接 $\mathit{BE}$（或将 $\mathit{\Delta ACD}$绕着点 $D$逆时针旋转 $180°$得到 $\mathit{\Delta EBD})$，把 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$， $2\mathit{AD}$集中在 $\mathit{\Delta ABE}$中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{BC}$边上的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$于点 $D$， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}>\mathit{EF}$；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=140°$，以 $C$为顶点作一个 $70°$角，角的两边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于 $E$、 $F$两点，连接 $\mathit{EF}$，探索线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$之间的数量关系，并加以证明．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．    ①

古希腊几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202--$约 $1261)$，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．     ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\mathit{ab}\right)}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{4}\right)}^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathit{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4})(\frac{1}{2}\mathit{ab}-\frac{a^2+b^2-c^2}{4})}=\sqrt{\frac{2\mathit{ab}+a^2+b^2-c^2}{4}·\frac{2\mathit{ab}-a^2-b^2+c^2}{4}}=\sqrt{\frac{{(a+b)}^2-c^2}{4}·\frac{c^2-{(a-b)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}·\frac{a+b-c}{2}·\frac{a+c-b}{2}·\frac{b+c-a}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $--$秦九韶公式．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{AC}=7$， $\odot O$内切于 $\mathit{\Delta ABC}$，切点分别是 $D$、 $E$、 $F$．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）求 $\odot O$的半径．

如图，等边△ ABC中， AB＝6，点 D在 BC上， BD＝4，点 E为边 AC上一动点（不与点 C重合），△ CDE关于 DE的轴对称图形为△ FDE．

（1）当点 F在 AC上时，求证： DF∥ AB；

（2）设△ ACD的面积为 S ₁，△ ABF的面积为 S ₂，记 S＝ S ₁﹣ S ₂， S是否存在最大值？若存在，求出 S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当 B， F， E三点共线时．求 AE的长．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在Rt△ ABC中，∠ ABC＝90°， BC＝3， D为斜边 AC的中点，连接 BD，点 F是 BC边上的动点（不与点 B、 C重合），过点 B作 BE⊥ BD交 DF延长线交于点 E，连接 CE，下列结论：

①若 BF＝ CF，则 CE ²+ AD ²＝ DE ²；

②若∠ BDE＝∠ BAC， AB＝4，则 CE＝ $\frac{15}{8}$ ；

③△ ABD和△ CBE一定相似；

④若∠ A＝30°，∠ BCE＝90°，则 DE＝ $\sqrt{21}$ ．

其中正确的是 　．（填写所有正确结论的序号）

问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点 $D$， $N$和 $E$， $C$， $\mathit{DN}$和 $\mathit{EC}$相交于点 $P$，求 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值．

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中 $\angle \mathit{CPN}$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 $M$， $N$，可得 $\mathit{MN}//\mathit{EC}$，则 $\angle \mathit{DNM}=\angle \mathit{CPN}$，连接 $\mathit{DM}$，那么 $\angle \mathit{CPN}$就变换到 $\text{Rt}\Delta \text{DMN}$中．

问题解决

（1）直接写出图1中 $\tan \angle \mathit{CPN}$的值为　2　；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中， $\mathit{AN}$与 $\mathit{CM}$相交于点 $P$，求 $\cos \angle \mathit{CPN}$的值；

思维拓展

（3）如图3， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}=4\mathit{BC}$，点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{BC}$，延长 $\mathit{CB}$到 $N$，使 $\mathit{BN}=2\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AN}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $P$，用上述方法构造网格求 $\angle \mathit{CPN}$的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{BCD}$中， $\angle \mathit{CBD}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，点 $A$在 $\mathit{CB}$的延长线上，且 $\mathit{BA}=\mathit{BC}$，点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动，过点 $E$作射线 $\mathit{EF}\perp \mathit{EA}$，交 $\mathit{CD}$所在直线于点 $F$．

（1）当点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上移动时，如图（1）所示，求证： $\mathit{BC}-\mathit{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{DF}$．

（2）当点 $E$在直线 $\mathit{BD}$上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DF}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在Rt△ ACB中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC， D是 AB上的一个动点（不与点 A， B重合），连接 CD，将 CD绕点 C顺时针旋转90°得到 CE，连接 DE， DE与 AC相交于点 F，连接 AE．下列结论：

①△ ACE≌△ BCD；

②若∠ BCD＝25°，则∠ AED＝65°；

③ DE ²＝2 CF• CA；

④若 AB＝3 $\sqrt{2}$ ， AD＝2 BD，则 AF＝ $\frac{5}{3}$ ．

其中正确的结论是 　　．（填写所有正确结论的序号）

已知：在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，且 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$， $\mathit{BF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$， $\angle \mathit{BGE}=\angle \mathit{ADE}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

（2）如图2， $\mathit{BH}$是 $\mathit{\Delta ABE}$的中线，若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$， $\mathit{DE}=\mathit{EG}$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $\mathit{\Delta ADE}$面积的2倍．

如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$ ，则

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ BC× AD＝ $\frac{1}{2}$ × BC× ACsin∠ C＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C，

即 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C

同理 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ bcsin∠ A

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ acsin∠ B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则

a ²＝ b ²+ c ²﹣2 bccos∠ A

b ²＝ a ²+ c ²﹣2 accos∠ B

c ²＝ a ²+ b ²﹣2 abcos∠ C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S _{△ DEF}和 DE ²．

解： S _{△ DEF}＝ EF× DFsin∠ F＝ 　　；

DE ²＝ EF ²+ DF ²﹣2 EF× DFcos∠ F＝ 　　．

（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S ₁、 S ₂、 S ₃、 S ₄，求证： S ₁+ S ₂＝ S ₃+ S ₄．

如图，在△ ABC与△ ADE中， AB＝ AC， AD＝ AE，∠ BAC＝∠ DAE，且点 D在 AB上，点 E与点 C在 AB的两侧，连接 BE， CD，点 M、 N分别是 BE、 CD的中点，连接 MN， AM， AN．

下列结论：①△ ACD≌△ ABE；②△ ABC∽△ AMN；③△ AMN是等边三角形；④若点 D是 AB的中点，则 S _{△ ABC}＝2 S _{△ ABE}．

其中正确的结论是 　．（填写所有正确结论的序号）

【发现】如图①，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，将直角三角板的 $60°$角顶点 $D$任意放在 $\mathit{BC}$边上（点 $D$不与点 $B$、 $C$重合），使两边分别交线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AE}=4$， $\mathit{BD}=2$，则 $\mathit{CF}=$　　；

（2）求证： $\mathit{\Delta EBD}\backsim \mathit{\Delta DCF}$．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$在 $\mathit{BC}$边上移动，保持三角板与边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的两个交点 $E$、 $F$都存在，连接 $\mathit{EF}$，如图②所示，问：点 $D$是否存在某一位置，使 $\mathit{ED}$平分 $\angle \mathit{BEF}$且 $\mathit{FD}$平分 $\angle \mathit{CFE}$？若存在，求出 $\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BC}}$的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$处（其中 $\angle \mathit{MON}=\angle B)$，使两条边分别交边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$（点 $E$、 $F$均不与 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点重合），连接 $\mathit{EF}$．设 $\angle B=\alpha$，则 $\mathit{\Delta AEF}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的周长之比为　　（用含 $\alpha$的表达式表示）．

将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 $A$旋转，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{DE}$．探究 $S_{\mathit{\Delta ABC}}$与 $S_{\mathit{\Delta ADE}}$的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图① $)$

（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 $30°$角的直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图② $)$

（3）两块三角板中， $\angle \mathit{BAE}+\angle \mathit{CAD}=180°$， $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AE}=b$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{AD}=n(a$， $b$， $m$， $n$为常数）， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，用含 $a$， $b$， $m$， $n$的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③ $)$

如图，等腰中，，，点在线段上运动（不与、重合），将与分别沿直线、翻折得到与，给出下列结论：

①；

②的大小不变；

③面积的最小值为 $\frac{4\sqrt{3}}{5}$；

④当点在的中点时，是等边三角形，

其中所有正确结论的序号是　　．