初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是上半圆的弦，过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $A$作切线 $\mathit{DE}$的垂线，垂足为 $D$，且与 $\odot O$交于点 $F$，设 $\angle \mathit{DAC}$， $\angle \mathit{CEA}$的度数分别是 $\alpha$， $\beta$．

（1）用含 $\alpha$的代数式表示 $\beta$，并直接写出 $\alpha$的取值范围；

（2）连接 $\mathit{OF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $O\text{'}$，当点 $O\text{'}$是 $\mathit{AC}$的中点时，求 $\alpha$， $\beta$的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，与 $\mathit{AC}$相交于点 $F$， $\angle B=\angle \mathit{BAE}=30°$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$，求 $\odot O$的半径 $r$；

（3）在（1）的条件下，判断以 $A$、 $O$、 $E$、 $F$为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长至点 $F$，使 $\mathit{EF}=2\mathit{DE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$．

（1）证明： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$；

（2）当 $\angle B=30°$时，试判断四边形 $\mathit{ACEF}$的形状并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{OP}$，点 $A$关于 $\mathit{OP}$的对称点 $C$恰好落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{OP}//\mathit{BC}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CD}$，交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$．如果 $\angle D=90°$， $\mathit{DP}=1$，求 $\odot O$的直径．

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $\mathit{\Delta ABC}$内总存在一点 $P$与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$为等边 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，将 $\mathit{\Delta ACP}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta ADE}$，从而有 $\mathit{DE}=\mathit{PC}$，连接 $\mathit{PD}$得到 $\mathit{PD}=\mathit{PA}$，同时 $\angle \mathit{APB}+\angle \mathit{APD}=120°+60°=180°$， $\angle \mathit{ADP}+\angle \mathit{ADE}=180°$，即 $B$、 $P$、 $D$、 $E$四点共线，故 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}=\mathit{PD}+\mathit{PB}+\mathit{DE}=\mathit{BE}$．在 $\mathit{\Delta ABC}$中，另取一点 $P\text{'}$，易知点 $P\text{'}$与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$、 $P\text{'}$、 $D\text{'}$、 $E$四点不共线，所以 $P\text{'}A+P\text{'}B+P\text{'}C>\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$，即点 $P$到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{BPC}=120°$，证明 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小；

【拓展】（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，且点 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，求点 $P$到三个顶点的距离之和的最小值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，四边形 $\mathit{EBOC}$ 是平行四边形， $\mathit{EB}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\angle F=30°$ ， $\mathit{EB}=4$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 $\pi$ ）.

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$，点 $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上的动点（不与点 $B$、点 $C$重合），连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{OP}$，将线段 $\mathit{OP}$绕点 $P$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．

（1）如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出线段 $\mathit{BQ}$与 $\mathit{CP}$的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$在 $\mathit{CB}$延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上时，若 $\angle \mathit{BPO}=15°$， $\mathit{BP}=4$，请求出 $\mathit{BQ}$的长

已知： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{DE}=1$，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $C$，弦 $\mathit{DE}$在 $\odot O$上运动且保持长度不变， $\odot O$的切线 $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求证： $\mathit{CF}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当点 $E$运动至与点 $B$重合时，试判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{BF}$是否相等，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图， $\mathit{BD}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{BC}$与 $\mathit{OA}$相交于点 $E$， $\mathit{AF}$与 $\odot O$相切于点 $A$，交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F$， $\angle F=30°$， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{BC}=8$．

（1）求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（2）求 $\mathit{AC}$的长度．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．