初中数学等边三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60°$ ， $30°$ ， $15°$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 重合，得到折痕 $\mathit{EF}$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $\mathit{EF}$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $\mathit{BM}$ ，同时得到线段 $\mathit{BN}$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $\mathit{MN}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $\mathit{\Delta BMP}$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{BC}=b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $\mathit{BMP}$ ？

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BA}$ 长为半径作 $\odot B$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ．

（1）试判断 $\mathit{CD}$ 与 $\odot B$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ，求图中阴影部分的面积．

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

发现规律

（1）如图①， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$都是等边三角形，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

（2）已知： $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$的位置如图②所示，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=\beta$，求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

应用结论

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点 $O$的坐标为 $(0,0)$，点 $M$的坐标为 $(3,0)$， $N$为 $y$轴上一动点，连接 $\mathit{MN}$．将线段 $\mathit{MN}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$得到线段 $\mathit{MK}$，连接 $\mathit{NK}$， $\mathit{OK}$．求线段 $\mathit{OK}$长度的最小值．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为1， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上任意一点（端点除外），线段 $\mathit{CE}$ 的垂直平分线交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CE}$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{EF}$ ；

（2）求 $\mathit{MN}+\mathit{NG}$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上运动时， $\angle \mathit{CEF}$ 的大小是否变化？为什么？

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图，已知 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的两条直径，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是半径 $\mathit{OC}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）设 $\odot O$的半径为1，若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

（2）连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$，设 $\mathit{OB}$与 $\mathit{EF}$交于点 $P$，

①求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$．

②若 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{BAC}$的度数．

将正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$绕点 $A$逆时针旋转至 $\mathit{AB}\text{'}$，记旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BB}\text{'}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}$垂直于直线 $\mathit{BB}\text{'}$，垂足为点 $E$，连接 $\mathit{DB}\text{'}$， $\mathit{CE}$．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$时， $\mathit{\Delta DEB}\text{'}$的形状为　 　，连接 $\mathit{BD}$，可求出 $\frac{\mathit{BB}\text{'}}{\mathit{CE}}$的值为　　；

（2）当 $0°<\alpha <360°$且 $\alpha \ne 90°$时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点 $B\text{'}$， $E$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{B\text{'}E}$的值．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

已知： 在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$． 求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形 ．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\stackrel{̂}{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

问题背景

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$的内部，作 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{BCG}=\angle \mathit{CDH}$，根据三角形全等的条件，易得 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta CDH}$，从而得到四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形．

类比探究

如图2，在正 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，作 $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ACF}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$两两相交于 $D$， $E$， $F$三点 $(D$， $E$， $F$三点不重合）

（1） $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta BCE}$， $\mathit{\Delta CAF}$是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $\mathit{\Delta DEF}$是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $\mathit{\Delta ABD}$的三边存在一定的等量关系，设 $\mathit{BD}=a$， $\mathit{AD}=b$， $\mathit{AB}=c$，请探索 $a$， $b$， $c$满足的等量关系．