初中数学

在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60 ° 30 ° 15 ° 等大小的角,可以采用如下方法:

操作感知:

第一步:对折矩形纸片 ABCD ,使 AD BC 重合,得到折痕 EF ,把纸片展开(如图1 )

第二步:再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B ,得到折痕 BM ,同时得到线段 BN (如图 2 )

猜想论证:

(1)若延长 MN BC 于点 P ,如图3所示,试判定 ΔBMP 的形状,并证明你的结论.

拓展探究:

(2)在图3中,若 AB = a BC = b ,当 a b 满足什么关系时,才能在矩形纸片 ABCD 中剪出符合(1)中结论的三角形纸片 BMP

来源:2021年青海省中考数学试卷
  • 更新:2021-08-18
  • 题型:未知
  • 难度:未知

问题解决:如图1,在矩形 ABCD 中,点 E F 分别在 AB BC 边上, DE = AF DE AF 于点 G

(1)求证:四边形 ABCD 是正方形;

(2)延长 CB 到点 H ,使得 BH = AE ,判断 ΔAHF 的形状,并说明理由.

类比迁移:如图2,在菱形 ABCD 中,点 E F 分别在 AB BC 边上, DE AF 相交于点 G DE = AF AED = 60 ° AE = 6 BF = 2 ,求 DE 的长.

来源:2021年甘肃省武威市中考数学试卷
  • 更新:2021-07-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

发现规律

(1)如图①, ΔABC ΔADE 都是等边三角形,直线 BD CE 交于点 F .直线 BD AC 交于点 H .求 BFC 的度数.

(2)已知: ΔABC ΔADE 的位置如图②所示,直线 BD CE 交于点 F .直线 BD AC 交于点 H .若 ABC = ADE = α ACB = AED = β ,求 BFC 的度数.

应用结论

(3)如图③,在平面直角坐标系中,点 O 的坐标为 ( 0 , 0 ) ,点 M 的坐标为 ( 3 , 0 ) N y 轴上一动点,连接 MN .将线段 MN 绕点 M 逆时针旋转 60 ° 得到线段 MK ,连接 NK OK .求线段 OK 长度的最小值.

来源:2020年山东省威海市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,菱形 ABCD 的边长为1, ABC = 60 ° ,点 E 是边 AB 上任意一点(端点除外),线段 CE 的垂直平分线交 BD CE 分别于点 F G AE EF 的中点分别为 M N

(1)求证: AF = EF

(2)求 MN + NG 的最小值;

(3)当点 E AB 上运动时, CEF 的大小是否变化?为什么?

来源:2020年山东省临沂市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知 AC BD O 的两条直径,连接 AB BC OE AB 于点 E ,点 F 是半径 OC 的中点,连接 EF

(1)设 O 的半径为1,若 BAC = 30 ° ,求线段 EF 的长.

(2)连接 BF DF ,设 OB EF 交于点 P

①求证: PE = PF

②若 DF = EF ,求 BAC 的度数.

来源:2020年浙江省杭州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB ' ,记旋转角为 α ,连接 BB ' ,过点 D DE 垂直于直线 BB ' ,垂足为点 E ,连接 DB ' CE

(1)如图1,当 α = 60 ° 时, ΔDEB ' 的形状为   ,连接 BD ,可求出 BB ' CE 的值为  

(2)当 0 ° < α < 360 ° α 90 ° 时,

①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;

②当以点 B ' E C D 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出 BE B ' E 的值.

来源:2020年河南省中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在 ΔABC 中, AB = 4 BC = 7 B = 60 ° ,点 D 在边 BC 上, CD = 3 ,联结 AD .如果将 ΔACD 沿直线 AD 翻折后,点 C 的对应点为点 E ,那么点 E 到直线 BD 的距离为  

来源:2020年上海市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图(1)放置两个全等的含有 30 ° 角的直角三角板 ABC DEF ( B = E = 30 ° ) ,若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点 C 与点 E 重合时移动终止),移动过程中始终保持点 B F C E 在同一条直线上,如图(2), AB DF DE 分别交于点 P M AC DE 交于点 Q ,其中 AC = DF = 3 ,设三角板 ABC 移动时间为 x 秒.

(1)在移动过程中,试用含 x 的代数式表示 ΔAMQ 的面积;

(2)计算 x 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?

来源:2020年宁夏中考数学试卷
  • 更新:2021-05-25
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知线段 AB = 2 MN AB 于点 M ,且 AM = BM P 是射线 MN 上一动点, E D 分别是 PA PB 的中点,过点 A M D 的圆与 BP 的另一交点 C (点 C 在线段 BD 上),连接 AC DE

(1)当 APB = 28 ° 时,求 B CM ̂ 的度数;

(2)求证: AC = AB

(3)在点 P 的运动过程中

①当 MP = 4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q ,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的 MQ 的值;

②记 AP 与圆的另一个交点为 F ,将点 F 绕点 D 旋转 90 ° 得到点 G ,当点 G 恰好落在 MN 上时,连接 AG CG DG EG ,直接写出 ΔACG ΔDEG 的面积之比.

来源:2017年浙江省温州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知等边 ΔABC 的边长为8,点 P AB 边上的一个动点(与点 A B 不重合).直线 l 是经过点 P 的一条直线,把 ΔABC 沿直线 l 折叠,点 B 的对应点是点 B '

(1)如图1,当 PB = 4 时,若点 B ' 恰好在 AC 边上,则 AB ' 的长度为         

(2)如图2,当 PB = 5 时,若直线 l / / AC ,则 BB ' 的长度为       

(3)如图3,点 P AB 边上运动过程中,若直线 l 始终垂直于 AC ΔACB ' 的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;

(4)当 PB = 6 时,在直线 l 变化过程中,求 ΔACB ' 面积的最大值.

来源:2019年江苏省扬州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-21
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知:在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A x 轴的负半轴上,直线 y = 3 x + 7 2 3 x 轴、 y 轴分别交于 B C 两点,四边形 ABCD 为菱形.

(1)如图1,求点 A 的坐标;

(2)如图2,连接 AC ,点 P ΔACD 内一点,连接 AP BP BP AC 交于点 G ,且 APB = 60 ° ,点 E 在线段 AP 上,点 F 在线段 BP 上,且 BF = AE ,连接 AF EF ,若 AFE = 30 ° ,求 A F 2 + E F 2 的值;

(3)如图3,在(2)的条件下,当 PE = AE 时,求点 P 的坐标.

来源:2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30 ° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在 Rt Δ ABC 中, ACB = 90 ° ABC = 30 ° ,则: AC = 1 2 AB

探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接 AB 边上中线 CE ,由于 CE = 1 2 AB ,易得结论:① ΔACE 为等边三角形;② BE CE 之间的数量关系为  

(2)如图2,点 D 是边 CB 上任意一点,连接 AD ,作等边 ΔADE ,且点 E ACB 的内部,连接 BE .试探究线段 BE DE 之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.

(3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段 BE DE 之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论  

拓展应用:如图3,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 ( 3 1 ) ,点 B x 轴正半轴上的一动点,以 AB 为边作等边 ΔABC ,当 C 点在第一象限内,且 B ( 2 , 0 ) 时,求 C 点的坐标.

来源:2018年山东省日照市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

(1)已知: ΔABC 是等腰三角形,其底边是 BC ,点 D 在线段 AB 上, E 是直线 BC 上一点,且 DEC = DCE ,若 A = 60 ° (如图①).求证: EB = AD

(2)若将(1)中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”,其它条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由;

(3)若将(1)中的“若 A = 60 ° ”改为“若 A = 90 ° ”,其它条件不变,则 EB AD 的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)

来源:2016年山东省泰安市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-14
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1, ΔABC 是边长为 4 cm 的等边三角形,边 AB 在射线 OM 上,且 OA = 6 cm ,点 D O 点出发,沿 OM 的方向以 1 cm / s 的速度运动,当 D 不与点 A 重合时,将 ΔACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60 ° 得到 ΔBCE ,连接 DE

(1)求证: ΔCDE 是等边三角形;

(2)如图2,当 6 < t < 10 时, ΔBDE 的周长是否存在最小值?若存在,求出 ΔBDE 的最小周长;若不存在,请说明理由;

(3)如图3,当点 D 在射线 OM 上运动时,是否存在以 D E B 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时 t 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2017年湖南省郴州市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-07
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知Rt△ OAB,∠ OAB=90°,∠ ABO=30°,斜边 OB=4,将Rt△ OAB绕点 O顺时针旋转60°,如图1,连接 BC

(1)填空:∠ OBC  °;

(2)如图1,连接 AC,作 OPAC,垂足为 P,求 OP的长度;

(3)如图2,点 MN同时从点 O出发,在△ OCB边上运动, M沿 OCB路径匀速运动, N沿 OBC路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点 M的运动速度为1.5单位/秒,点 N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为 x秒,△ OMN的面积为 y,求当 x为何值时 y取得最大值?最大值为多少?

来源:2018年广东省中考数学试卷
  • 更新:2021-04-13
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学等边三角形的判定与性质试题