初中数学等腰三角形的性质解答题

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

（1）求证：AB是⊙O的直径；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；

（3）若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．

已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中

（1）如图1，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．

①求证：；      ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

如图，在 中， ．

（1）作边 的垂直平分线 ，与 ， 分别相交于点 ， （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的度数．

如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；

（2）若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的一条弦，点 $P$ 是 $\odot O$ 上一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}$ ， $\mathit{PD}//\mathit{AC}$ ，与 $\mathit{BA}$ 的延长线交于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PAC}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AC}=12$ ，求直径 $\mathit{AB}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的一条弦，点 $P$ 是 $\odot O$ 上一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}$ ， $\mathit{PD}//\mathit{AC}$ ，与 $\mathit{BA}$ 的延长线交于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{PD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PAC}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AC}=12$ ，求直径 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，点 $O$ 为 $\mathit{BC}$ 边上一点，以点 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的圆与边 $\mathit{AB}$ 相交于点 $D$ ，连接 $\mathit{DC}$ ，当 $\mathit{DC}$ 为 $\odot O$ 的切线时．

（1）求证： $\mathit{DC}=\mathit{AC}$ ；

（2）若 $\mathit{DC}=\mathit{DB}$ ， $\odot O$ 的半径为1，请直接写出 $\mathit{DC}$ 的长为 　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ ， $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$ ．求证： $\angle \mathit{ADE}=\angle \mathit{AED}$ ．

如图1，已知点 $O$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=2$ ， $\mathit{OC}$ 平分 $\angle \mathit{BOD}$ ，与 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ， $\mathit{AC}$ 分别与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OD}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OC}//\mathit{AD}$ ；

（2）如图2，若 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AF}}$ 的值；

（3）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 的周长取最大值时，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DF}}$ 的值．

是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．

（1）如图①，求证：直线是的切线；

（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．

如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．

（1）求的度数；

（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；

（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ， $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）已知 $\mathit{BD}=3\sqrt{5}$ ， $\mathit{CD}=5$ ，求 $O$ ， $E$ 两点之间的距离．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，证明： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CA}=6$ ， $\mathit{CE}=3.6$ ，求 $\odot O$ 的半径 $\mathit{OA}$ 的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外侧，作等边三角形 $\mathit{ADE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BAE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）求 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．