初中数学等腰三角形的性质解答题

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$相交于点 $D$， $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）分别延长 $\mathit{CB}$， $\mathit{FD}$，相交于点 $G$， $\angle A=60°$， $\odot O$的半径为6，求阴影部分的面积．

问题背景：已知 $\angle \mathit{EDF}$的顶点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$所在直线上（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$所在直线于点 $M$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$所在直线于点 $N$，记 $\mathit{\Delta ADM}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BND}$的面积为 $S_2$．

（1）初步尝试：如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{EDF}=\angle A$，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$时，则 $S_1·S_2=$　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$沿 $\mathit{AB}$平移，使 $\mathit{AD}=4$，再将 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转至如图②所示位置，求 $S_1·S_2$的值；

（3）延伸拓展：当 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形时，设 $\angle B=\angle A=\angle \mathit{EDF}=\alpha$．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，求 $S_1·S_2$的表达式（结果用 $a$， $b$和 $\alpha$的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，直接写出 $S_1·S_2$的表达式，不必写出解答过程．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，过 $O$点作 $\mathit{OP}\perp \mathit{AB}$，交弦 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\odot O$于点 $E$，且使 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle P=60°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{PE}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$， $\angle F=36°$．求 $\angle B$的度数．

如图， $\mathit{\Delta AOB}$的顶点 $A$、 $B$分别在 $x$轴， $y$轴上， $\angle \mathit{BAO}=45°$，且 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为8．

（1）直接写出 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）过点 $A$、 $B$的抛物线 $G$与 $x$轴的另一个交点为点 $C$．

①若 $\mathit{\Delta ABC}$是以 $\mathit{BC}$为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；

②将抛物线 $G$向下平移4个单位后，恰好与直线 $\mathit{AB}$只有一个交点 $N$，求点 $N$的坐标．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BD}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$．

（1） $E$为 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3\mathit{CD}$，求 $\angle A$的大小．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{BC}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{OA}$是 $\odot O$的半径，且 $\mathit{OA}=3$．

（1）求证： $\mathit{AB}$平分 $\angle \mathit{OAD}$；

（2）若点 $E$是优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AEB}}$上一点，且 $\angle \mathit{AEB}=60°$，求扇形 $\mathit{OAB}$的面积．（计算结果保留 $\pi )$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}$，点 $D$， $E$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CD}$．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$在 $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$分别交 $\mathit{AD}$于 $E$， $\mathit{AC}$于 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DBE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=4\mathit{DC}$，取 $\mathit{AB}$的中点 $G$，连接 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于 $M$，求证：① $\mathit{GM}=2\mathit{MC}$；② $A{G}^2=\mathit{AF}·\mathit{AC}$．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AC}$为直径，弦 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\angle 1=\angle \mathit{BAD}$；

（2）求证： $\mathit{BE}$是 $\odot O$的切线．

如图，在三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=5$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，直线 $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线， $D$为切点，交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$；

（2）求 $\tan \angle E$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $O$为 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AC}$与半圆 $O$相切于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是半圆 $O$所在圆的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{ABC}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AB}=12$，求半圆 $O$所在圆的半径．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．