$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，点$C$是$\odot O$上一点，连接$\mathit{AC}$、$\mathit{BC}$，直线$\mathit{MN}$过点$C$，满足$\angle \mathit{BCM}=\angle \mathit{BAC}=\alpha$．

（1）如图①，求证：直线$\mathit{MN}$是$\odot O$的切线；

（2）如图②，点$D$在线段$\mathit{BC}$上，过点$D$作$\mathit{DH}\perp \mathit{MN}$于点$H$，直线$\mathit{DH}$交$\odot O$于点$E$、$F$，连接$\mathit{AF}$并延长交直线$\mathit{MN}$于点$G$，连接$\mathit{CE}$，且$\mathit{CE}=\frac{5}{3}$，若$\odot O$的半径为1，$\cos \alpha =\frac{3}{4}$，求$\mathit{AG}·\mathit{ED}$的值．