如图1，已知点 $O$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=2$ ， $\mathit{OC}$ 平分 $\angle \mathit{BOD}$ ，与 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ， $\mathit{AC}$ 分别与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OD}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OC}//\mathit{AD}$ ；

（2）如图2，若 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AF}}$ 的值；

（3）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 的周长取最大值时，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DF}}$ 的值．