初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图①， $ΔABC$ 与 $ΔCDE$ 是等腰直角三角形，直角边 $AC$ 、 $CD$ 在同一条直线上，点 $M$ 、 $N$ 分别是斜边 $AB$ 、 $DE$ 的中点，点 $P$ 为 $AD$ 的中点，连接 $AE$ 、 $BD$ ．

（1）猜想 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的 $ΔCDE$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到图②， $AE$ 与 $MP$ 、 $BD$ 分别交于点 $G$ 、 $H$ ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 $BC = kAC$ ， $CD = kCE$ ，如图③，写出 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系，并加以证明．

来源：2016年辽宁省丹东市中考数学试卷

更新：2021-05-15
题型：未知
难度：未知

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在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点， $AP ∥ CQ$ ，AD＝BD．

（1）如图①，求证： $BP + BQ ＝ BC$ ；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若 $DQ ＝ 1$ ， $DP ＝ 3$ ，则BC＝　　．

来源：2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

更新：2021-04-16
题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 的边 $BC$ 上取一点 $O$ ，以 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径画 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 与边 $AB$ 相切于点 $D$ ， $AC = AD$ ，连接 $OA$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，并延长交线段 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $\tan B = \frac{4}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）若 $F$ 是 $AB$ 的中点，试探究 $BD + CE$ 与 $AF$ 的数量关系并说明理由．

来源：2020年四川省成都市中考数学试卷

更新：2021-05-20
题型：未知
难度：未知

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在Rt△ABC中， $∠ ACB ＝ 90 °$ ，点D为斜边AB的中点， $BC ＝ 6$ ， $CD ＝ 5$ ，过点A作 $AE ⊥ AD$ 且 $AE ＝ AD$ ，过点E作EF垂直于AC边所在的直线，垂足为点F，连接DF，请你画出图形，并直接写出线段DF的长．

来源：2016年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

更新：2021-04-16
题型：未知
难度：未知

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AC$ 是对角线， $BE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，求证： $AE = CF$ ．

来源：2018年浙江省衢州市中考数学试卷

更新：2021-05-24
题型：未知
难度：未知

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背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $BE = DG$ 且 $BE ⊥ DG$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $BE = DG$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $AEFG$ 和菱形 $ABCD$ ，将菱形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $∠ EAG$ 与 $∠ BAD$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $BE = DG$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $AEFG$ 和矩形 $ABCD$ ，且 $\frac{AE}{AG} = \frac{AB}{AD} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ， $AB = 8$ ，将矩形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $DE$ ， $BG$ ．小组发现：在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．