初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在中，，，于点．

（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；

（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；

（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：．

定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，

①若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=1$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，求对角线 $\mathit{BD}$的长．

②若 $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=9$，点 $P$是对角线 $\mathit{BD}$上一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{PD}$，过点 $P$作直线分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，使四边形 $\mathit{ABFE}$是等腰直角四边形，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形中，是边上一点，（与、不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接．显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于的角平分线），并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$垂直平分 $\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$（点 $E$与点 $C$不重合），点 $F$为 $\mathit{AC}$上一点，点 $G$为 $\mathit{AB}$上一点（点 $G$与点 $A$不重合），且 $\angle \mathit{GEF}+\angle \mathit{BAC}=180°$．

（1）如图1，当 $\angle B=45°$时，线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $\angle B=30°$时，猜想线段 $\mathit{AG}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并加以证明．

（3）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DG}=1$， $\cos B=\frac{3}{4}$，请直接写出 $\mathit{CF}$的长．

如图， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点D， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点E， $\mathit{AD}＝\mathit{AE}$．求证： $\mathit{BE}＝\mathit{CD}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$是有公共顶点的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$，点 $P$为射线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$的交点．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=1$，把 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，当 $\angle \mathit{EAC}=90°$时，求 $\mathit{PB}$的长；

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且 $\mathit{BD}＝\mathit{CD}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点E， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点F．

（1）求证： $\mathit{AB}＝\mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{DAC}＝30°$，求AC的长．

△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}＝\angle \mathit{EDF}＝90°$，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且 $\mathit{AP}＝\mathit{AQ}$时，求证： $△\mathit{BPE}≌△\mathit{CQE}$；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 $\mathit{BP}＝2$， $\mathit{CQ}＝9$时BC的长．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$．

（1）证明： $\mathit{\Delta CFG}\cong \mathit{\Delta AEG}$．

（2）若 $\mathit{AB}=4$，求四边形 $\mathit{AGCD}$的对角线 $\mathit{GD}$的长．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

如图，四边形 ABCD中， AB＝ AD＝ CD，以 AB为直径的⊙ O经过点 C，连接 AC、 OD交于点 E．

（1）证明： OD∥ BC；

（2）若tan∠ ABC＝2，证明： DA与⊙ O相切；

（3）在（2）条件下，连接 BD交⊙ O于点 F，连接 EF，若 BC＝1，求 EF的长．

如图，矩形 ABCD中， AB＞ AD，把矩形沿对角线 AC所在直线折叠，使点 B落在点 E处， AE交 CD于点 F，连接 DE．

（1）求证：△ ADE≌△ CED；

（2）求证：△ DEF是等腰三角形．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．