初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AB}$边的中点， $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$．

求证： $\mathit{BC}=\mathit{BF}$．

如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，以 BC为直径的⊙ O交斜边 AB于点 M，若 H是 AC的中点，连接 MH．

（1）求证： MH为⊙ O的切线．

（2）若 $\mathit{MH}=\frac{3}{2},$ $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$ ，求⊙ O的半径．

（3）在（2）的条件下分别过点 A、 B作⊙ O的切线，两切线交于点 D， AD与⊙ O相切于 N点，过 N点作 NQ⊥ BC，垂足为 E，且交⊙ O于 Q点，求线段 NQ的长度．

如图，在菱形 ABCD中， G是 BD上一点，连接 CG并延长交 BA的延长线于点 F，交 AD于点 E．

（1）求证： AG＝ CG．

（2）求证： AG ²＝ GE• GF．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，分别过点 $A$， $C$作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$． $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAE}$．

（1）若 $\angle \mathit{AOE}=50°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上的一点，且 $\mathit{BF}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $G$，求证： $\mathit{AF}=\mathit{BE}$．

杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：

如图， $\mathit{AB}\parallel \mathit{OH}\parallel \mathit{CD}$，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O， $\mathit{OD}\perp \mathit{CD}$．垂足为D，已知 $\mathit{AB}＝20$米，请根据上述信息求标语CD的长度．

如图， $\mathit{OF}$是 $\angle \mathit{MON}$的平分线，点 $A$在射线 $\mathit{OM}$上， $P$， $Q$是直线 $\mathit{ON}$上的两动点，点 $Q$在点 $P$的右侧，且 $\mathit{PQ}=\mathit{OA}$，作线段 $\mathit{OQ}$的垂直平分线，分别交直线 $\mathit{OF}$、 $\mathit{ON}$于点 $B$、点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{PB}$．

（1）如图1，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上时，请直接写出线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{PB}$的数量关系；

（2）如图2，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$的反向延长线上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{PB}$是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $\angle \mathit{MON}=60°$，连接 $\mathit{AP}$，设 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{OQ}}=k$，当 $P$和 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上移动时， $k$是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$的最小值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点D， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点E， $\mathit{AD}＝\mathit{AE}$．求证： $\mathit{BE}＝\mathit{CD}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$是有公共顶点的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$，点 $P$为射线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$的交点．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=1$，把 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，当 $\angle \mathit{EAC}=90°$时，求 $\mathit{PB}$的长；

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且 $\mathit{BD}＝\mathit{CD}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点E， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点F．

（1）求证： $\mathit{AB}＝\mathit{AC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{DAC}＝30°$，求AC的长．

△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， $\angle \mathit{BAC}＝\angle \mathit{EDF}＝90°$，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且 $\mathit{AP}＝\mathit{AQ}$时，求证： $△\mathit{BPE}≌△\mathit{CQE}$；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 $\mathit{BP}＝2$， $\mathit{CQ}＝9$时BC的长．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{CE}$相交于点 $G$．

（1）证明： $\mathit{\Delta CFG}\cong \mathit{\Delta AEG}$．

（2）若 $\mathit{AB}=4$，求四边形 $\mathit{AGCD}$的对角线 $\mathit{GD}$的长．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

如图，四边形 ABCD中， AB＝ AD＝ CD，以 AB为直径的⊙ O经过点 C，连接 AC、 OD交于点 E．

（1）证明： OD∥ BC；

（2）若tan∠ ABC＝2，证明： DA与⊙ O相切；

（3）在（2）条件下，连接 BD交⊙ O于点 F，连接 EF，若 BC＝1，求 EF的长．