已知:如图,在菱形 中,点 、 分别在边 、 上, , 的延长线交 的延长线于点 , 的延长线交 的延长线于点 .
[小题1]求证: ;
[小题2]如果 ,求证: .
如图,在 中, , , ,点 在边 上, ,联结 .如果将 沿直线 翻折后,点 的对应点为点 ,那么点 到直线 的距离为 .
问题提出
(1)如图1,在 中, , , 的平分线交 于点 .过点 分别作 , .垂足分别为 , ,则图1中与线段 相等的线段是 .
问题探究
(2)如图2, 是半圆 的直径, . 是 上一点,且 ,连接 , . 的平分线交 于点 ,过点 分别作 , ,垂足分别为 , ,求线段 的长.
问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知 的直径 ,点 在 上,且 . 为 上一点,连接 并延长,交 于点 .连接 , .过点 分别作 , ,垂足分别为 , .按设计要求,四边形 内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设 的长为 ,阴影部分的面积为 .
①求 与 之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当 的长度为 时,整体布局比较合理.试求当 时.室内活动区(四边形 的面积.
如图, 是边长为1的等边三角形, 、 为线段 上两动点,且 ,过点 、 分别作 、 的平行线相交于点 ,分别交 、 于点 、 .现有以下结论: ;②当点 与点 重合时, ;③ ;④当 时,四边形 为菱形,其中正确结论为
A. |
①②③ |
B. |
①②④ |
C. |
①②③④ |
D. |
②③④ |
将正方形 的边 绕点 逆时针旋转至 ,记旋转角为 ,连接 ,过点 作 垂直于直线 ,垂足为点 ,连接 , .
(1)如图1,当 时, 的形状为 ,连接 ,可求出 的值为 ;
(2)当 且 时,
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;
②当以点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出 的值.
如图(1)放置两个全等的含有 角的直角三角板 与 ,若将三角板 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点 与点 重合时移动终止),移动过程中始终保持点 、 、 、 在同一条直线上,如图(2), 与 、 分别交于点 、 , 与 交于点 ,其中 ,设三角板 移动时间为 秒.
(1)在移动过程中,试用含 的代数式表示 的面积;
(2)计算 等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?
在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动. 是边长为2的等边三角形, 是 上一点,小亮以 为边向 的右侧作等边三角形 ,连接 .
(1)如图1,当点 在线段 上时, 、 相交于点 ,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明.
(2)当点 在线段 上运动时,点 也随着运动,若四边形 的面积为 ,求 的长.
(3)如图2,当点 在 的延长线上运动时, 、 相交于点 ,请你探求 的面积 与 的面积 之间的数量关系.并说明理由.
(4)如图2,当 的面积 时,求 的长.
如图①,直线 表示一条东西走向的笔直公路,四边形 是一块边长为100米的正方形草地,点 , 在直线 上,小明从点 出发,沿公路 向西走了若干米后到达点 处,然后转身沿射线 方向走到点 处,接着又改变方向沿射线 方向走到公路 上的点 处,最后沿公路 回到点 处.设 米(其中 , 米,已知 与 之间的函数关系如图②所示,
(1)求图②中线段 所在直线的函数表达式;
(2)试问小明从起点 出发直至最后回到点 处,所走过的路径(即 是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应 的值;如果不可以,说明理由.
在 中, , , 是边 上一点,将 沿 折叠得到 ,连接 .
(1)特例发现
如图1,当 , 落在直线 上时.
①求证: ;
②填空: 的值为 ;
(2)类比探究
如图2,当 , 与边 相交时,在 上取一点 ,使 , 交 于点 .探究 的值(用含 的式子表示),并写出探究过程;
(3)拓展运用
在(2)的条件下,当 , 是 的中点时,若 ,求 的长.
如图,在边长为 的正六边形 中,连接 , ,其中点 , 分别为 和 上的动点.若以 , , 为顶点的三角形是等边三角形,且边长为整数,则该等边三角形的边长为 .
已知 和 都是等腰直角三角形 , .
(1)如图1,连接 , ,求证: ;
(2)将 绕点 顺时针旋转.
①如图2,当点 恰好在 边上时,求证: ;
②当点 , , 在同一条直线上时,若 , ,请直接写出线段 的长.
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图,正方形纸片 的边长为12,点 是 上一点,将 沿 折叠,点 落在点 处,连接 并延长交 于点 .若 ,则 的长为 .