初中数学三角形解答题

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在 $y$轴正半轴上，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，且 $\mathit{BC}=5$， $\sin \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $M$、点 $N$，点 $N$的坐标是 $(3,n)$，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{MC}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta OMC}$是等腰三角形．

如图1，以 $▱\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{CD}$为一边作菱形 $\mathit{CDEF}$，使点 $F$落在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{BE}$，交 $\mathit{AF}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{BG}$与 $\mathit{EG}$的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $\mathit{DE}$、 $\mathit{BA}$交于点 $H$，其他条件不变：

①如图2，若 $\angle \mathit{ADC}=60°$，求 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值；

②如图3，若 $\angle \mathit{ADC}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，直接写出 $\frac{\mathit{DG}}{\mathit{BH}}$的值（用含 $\alpha$的三角函数表示）

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$是 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $A$， $O$， $C$重合）．过点 $A$，点 $C$作直线 $\mathit{BP}$的垂线，垂足分别为点 $E$和点 $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）如图1，请直接写出线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$的数量关系；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$时，请判断线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $|\mathit{CF}-\mathit{AE}|=2$， $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$，当 $\mathit{\Delta POF}$为等腰三角形时，请直接写出线段 $\mathit{OP}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$， $E$是 $\mathit{OB}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长到点 $F$，使 $\mathit{EF}=\mathit{CE}$．连接 $\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OB}=2$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$．

（1）如图1，点 $E$， $F$在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\angle \mathit{EDF}=90°$．求证： $\mathit{BE}=\mathit{AF}$；

（2）点 $M$， $N$分别在直线 $\mathit{AD}$， $\mathit{AC}$上，且 $\angle \mathit{BMN}=90°$．

①如图2，当点 $M$在 $\mathit{AD}$的延长线上时，求证： $\mathit{AB}+\mathit{AN}=\sqrt{2}\mathit{AM}$；

②当点 $M$在点 $A$， $D$之间，且 $\angle \mathit{AMN}=30°$时，已知 $\mathit{AB}=2$，直接写出线段 $\mathit{AM}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$， $\angle \mathit{FAC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{ABC}$，且 $\angle \mathit{FAC}$在 $\mathit{AC}$下方．点 $P$， $Q$分别是射线 $\mathit{BD}$，射线 $\mathit{AF}$上的动点，且点 $P$不与点 $B$重合，点 $Q$不与点 $A$重合，连接 $\mathit{CQ}$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{CQ}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{BP}=\mathit{AQ}$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$上运动时，请直接写出线段 $\mathit{DE}$和线段 $\mathit{AQ}$的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$运动到线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha \ne 60°$，请直接写出当线段 $\mathit{BP}$和线段 $\mathit{AQ}$满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $\alpha$的三角函数表示）．

如图 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，以 $\mathit{BC}$为边在 $\mathit{\Delta ABC}$外作正方形 $\mathit{BCDE}$，延长 $\mathit{AB}$分别交 $\mathit{CE}$、 $\mathit{DE}$的延长线于点 $F$， $N$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AF}$于点 $H$， $\mathit{EM}\perp \mathit{AF}$于点 $M$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）判断 $\mathit{\Delta CHB}$和 $\mathit{\Delta BME}$是否全等，并说明理由；

（2）求证： $A{E}^2=\mathit{AC}·\mathit{AF}$；

（3）已知 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$，若点 $P$是直线 $\mathit{AF}$上的动点，请直接写出 $\mathit{\Delta CEP}$周长的最小值．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{DCB}$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

方法2：如图3，作 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{DCB}$，与 $\mathit{AB}$相交于点 $F$．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$在 $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{BDE}=2\angle \mathit{ABC}$，点 $F$在 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{BAC}$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{FE}$，相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{DGF}=\angle \mathit{BDE}$．

①在图中找出与 $\angle \mathit{DEF}$相等的角，并加以证明；

②若 $\mathit{AB}=\mathit{kDF}$，猜想线段 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DB}$的数量关系，并证明你的猜想．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

菱形 $\mathit{ABCD}$中、 $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $O$为射线 $\mathit{CA}$ 上的动点，作射线 $\mathit{OM}$与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转 $60°$，得到射线 $\mathit{ON}$，射线 $\mathit{ON}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）如图①，点 $O$与点 $A$重合时，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，请直接写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$在 $\mathit{CA}$的延长线上，且 $\mathit{OA}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$的延长线和线段 $\mathit{CD}$的延长线上，请写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BO}=2\sqrt{7}$，当 $\mathit{CF}=1$时，请直接写出 $\mathit{BE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $O$， $D$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{OD}$，作 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，在 $\mathit{AC}$边上取一点 $F$，使 $\mathit{DF}=\mathit{DO}$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）判断直线 $\mathit{DF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）当 $\angle A=30°$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$时，求 $\odot O$的半径．

如图1， $\angle \mathit{PAQ}=90°$，分别在 $\angle \mathit{PAQ}$的两边 $\mathit{AP}$， $\mathit{AQ}$上取点 $B$， $E$，使 $\mathit{AB}=\mathit{AE}$，点 $D$在 $\angle \mathit{PAQ}$的平分线 $\mathit{AM}$上， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，点 $F$在线段 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$重合），以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$为邻边作 $▱\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{CF}$， $\mathit{EF}$．

（1）猜想 $\mathit{CF}$与 $\mathit{EF}$之间的关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AM}$于点 $H$．

①求证： $\mathit{AD}+2\mathit{DH}=\sqrt{2}\mathit{AB}$．

②若 $\mathit{AB}=9$， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{AH}}=\frac{2}{7}$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，分别取 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $E$， $F$， $G$， $H$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$，求证：四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADN}$的斜边分别为正方形的边 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$，其中 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$．

（1）求证： $\text{Rt}\Delta \text{ABM}\cong \text{Rt}\Delta \text{AND}$；

（2）线段 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{AD}$相交于 $T$，若 $\mathit{AT}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABM}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是边 $\mathit{BC}$上的中线， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$， $\mathit{CE}//\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{AD}=3$．

（1）求 $\mathit{CE}$的长；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABC}$为等腰三角形．

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆圆心 $P$与内切圆圆心 $Q$之间的距离．