在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作 , , 等大小的角,可以采用如下方法:
操作感知:
第一步:对折矩形纸片 ,使 与 重合,得到折痕 ,把纸片展开(如图1 .
第二步:再一次折叠纸片,使点 落在 上,并使折痕经过点 ,得到折痕 ,同时得到线段 (如图 .
猜想论证:
(1)若延长 交 于点 ,如图3所示,试判定 的形状,并证明你的结论.
拓展探究:
(2)在图3中,若 , ,当 , 满足什么关系时,才能在矩形纸片 中剪出符合(1)中结论的三角形纸片 ?
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图,已知 是等边三角形, 是 内部的一点,连接 , .
(1)如图1,以 为直径的半圆 交 于点 ,交 于点 ,当点 在 上时,连接 ,在 边的下方作 , ,连接 ,求 的度数;
(2)如图2, 是 边上一点,且 ,当 时,连接 并延长,交 于点 ,若 ,求证: ;
(3)如图3, 是 边上一点,当 时,连接 .若 , , , 的面积为 , 的面积为 ,求 的值(用含 的代数式表示).
已知 和 都是等腰直角三角形 , .
(1)如图1,连接 , ,求证: ;
(2)将 绕点 顺时针旋转.
①如图2,当点 恰好在 边上时,求证: ;
②当点 , , 在同一条直线上时,若 , ,请直接写出线段 的长.
如图, 和 都是等腰直角三角形, , , , , 为 边中点,连接 ,且 、 、 三点恰好在一条直线上, 交 于点 ,连接 , .
(1)求证: ;
(2)猜想 , , 之间的数量关系,并证明;
(3)若 , ,请写出线段 , 的长.
在 中, , 平分 ,交对角线 于点 ,交射线 于点 ,将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 .
(1)如图1,当 时,连接 ,请直接写出线段 和线段 的数量关系;
(2)如图2,当 时,过点 作 于点,连接 ,请写出线段 , , 之间的数量关系,并说明理由;
(3)当 时,连接 ,若 ,请直接写出 与 面积的比值.
在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段 ,使用作图工具作 ,尝试操作后思考: (1)这样的点 唯一吗? (2)点 的位置有什么特征?你有什么感悟? |
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点 的位置不唯一,它在以 为弦的圆弧上(点 、 除外), .小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图 .
(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为 ;
② 面积的最大值为 ;
(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为 ,请你根据图1证明 .
(3)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图2,已知矩形 的边长 , ,点 在直线 的左侧,且 .
①线段 长的最小值为 ;
②若 ,则线段 长为 .
已知正方形 与正方形 ,正方形 绕点 旋转一周.
(1)如图①,连接 、 ,求 的值;
(2)当正方形 旋转至图②位置时,连接 、 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 、试探究: 与 的关系,并说明理由;
(3)连接 、 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 , ,请直接写出线段 扫过的面积.
在平面直角坐标系 中,对于 、 两点,若在 轴上存在点 ,使得 ,且 ,则称 、 两点互相关联,把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点 、 ,点 在一次函数 的图象上.
(1)①如图,在点 、 、 中,点 的关联点是 (填" "、" "或" " ;
②若在线段 上存在点 的关联点 ,则点 的坐标是 ;
(2)若在线段 上存在点 的关联点 ,求实数 的取值范围;
(3)分别以点 、 为圆心,1为半径作 、 .若对 上的任意一点 ,在 上总存在点 ,使得 、 两点互相关联,请写出点 的坐标.
如图①,在 中, , , 是斜边 上的中线,点 为射线 上一点,将 沿 折叠,点 的对应点为点 .
(1)若 .直接写出 的长(用含 的代数式表示);
(2)若 ,垂足为 ,点 与点 在直线 的异侧,连接 ,如②,判断四边形 的形状,并说明理由;
(3)若 ,直接写出 的度数.
实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片 ,将正方形纸片沿过点 的直线折叠,使点 落在正方形 的内部,点 的对应点为点 ,折痕为 ,再将纸片沿过点 的直线折叠,使 与 重合,折痕为 ,则 度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿 继续折叠,点 的对应点为点 .我们发现,当点 的位置不同时,点 的位置也不同.当点 在 边的某一位置时,点 恰好落在折痕 上,则 度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设 与 的交点为点 .求证: ;
(2)若 ,则线段 的长为 .
如图所示, 是 的直径,点 、 是 上不同的两点,直线 交线段 于点 、交过点 的直线 于点 ,若 ,且 .
(1)求证:直线 是 的切线;
(2)连接 、 、 、 ,若 .
①求证: ;
②过点 作 ,交线段 于点 ,点 为线段 的中点,若 ,求线段 的长度.
如图,在 中, , ,点 为 的中点,连接 ,将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ,且 交线段 于点 , 的平分线 交 于点 .
(1)如图1,若 ,则线段 与 的数量关系是 , ;
(2)如图2,在(1)的条件下,过点 作 交 于点 ,连接 , .
①试判断四边形 的形状,并说明理由;
②求证: ;
(3)如图3,若 , ,过点 作 交 于点 ,连接 , ,请直接写出 的值(用含 的式子表示).
如图①, 、 是等腰 的斜边 上的两动点, , 且 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)如图②,作 ,垂足为 ,设 , ,不妨设 ,请利用(2)的结论证明:当 时, 成立.