初中数学三角形试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $M$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点，连接 $\mathit{OM}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{ON}\perp \mathit{OM}$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．若四边形 $\mathit{MOND}$ 的面积是1，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{2}$

C．

2

D．

$2\sqrt{2}$

已知 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$在同一平面内，点 $C$， $D$不重合， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ABD}=30°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AC}=\mathit{AD}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}$长为 　　．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{\Delta BEC}$ 与 $\mathit{\Delta FEC}$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，点 $B$ 的对称点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $G$ 为 $\mathit{CD}$ 中点，连结 $\mathit{BG}$ 分别与 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CF}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．若 $\mathit{BM}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{MG}=1$ ，则 $\mathit{BN}$ 的长为 　　， $\sin \angle \mathit{AFE}$ 的值为 　　．

如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形 $\mathit{ABCD}$ ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 $S_1$ ，另两张直角三角形纸片的面积都为 $S_2$ ，中间一张矩形纸片 $\mathit{EFGH}$ 的面积为 $S_3$ ， $\mathit{FH}$ 与 $\mathit{GE}$ 相交于点 $O$ ．当 $\mathit{\Delta AEO}$ ， $\mathit{\Delta BFO}$ ， $\mathit{\Delta CGO}$ ， $\mathit{\Delta DHO}$ 的面积相等时，下列结论一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$S_1=S_2$

B．

$S_1=S_3$

C．

$\mathit{AB}=\mathit{AD}$

D．

$\mathit{EH}=\mathit{GH}$

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

已知在 $\mathit{\Delta ACD}$ 中， $P$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $B$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上的一点，连结 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AP}=\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{AP}$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $\angle \mathit{CAD}=60°$ ， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$ ，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ．

（3）如图3，若 $\angle \mathit{CAD}=45°$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $\mathit{BD}=\mathit{mAC}$ 时， $\mathit{BC}=2\mathit{AP}$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图是一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，点 $M$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 的中点，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上，把 $\mathit{\Delta DCE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $\mathit{AC}$ 上的点 $F$ 处，连接 $\mathit{DF}$ ， $\mathit{EF}$ ．若 $\mathit{MF}=\mathit{AB}$ ，则 $\angle \mathit{DAF}=$ 　　度．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $A$ ， $C$ 均落在格点上，点 $B$ 在网格线上．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$ 的长等于 　　；

（Ⅱ）以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心为 $O$ ，在线段 $\mathit{AB}$ 上有一点 $P$ ，满足 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{BCD}$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AE}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，作 $\mathit{CF}//\mathit{AD}$ 交线段 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta EAD}$ ；

（2）如图2．若 $\mathit{AB}=9$ ， $\mathit{CD}=5$ ， $\angle \mathit{ECF}=\angle \mathit{AED}$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BF}$ 的延长线经过 $\mathit{AD}$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图，圆 $O$ 中两条互相垂直的弦 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ．

（1） $M$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $\mathit{OM}=3$ ， $\mathit{CD}=12$ ，求圆 $O$ 的半径长；

（2）点 $F$ 在 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$ ，求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作 $\angle \mathit{BAC}$ 平分线的垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $\mathit{BC}$ 的中点是 $M$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{MD}$ ， $\mathit{ME}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CD}=2\mathit{ME}$

B．

$\mathit{ME}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{BD}=\mathit{CD}$

D．

$\mathit{ME}=\mathit{MD}$

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．