初中数学三角形试题

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$．交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{FN}$， $\mathit{EM}$．有下列结论：①四边形 $\mathit{NEMF}$为平行四边形；② $D{N}^2=\mathit{MC}\cdot \mathit{NC}$；③ $\mathit{\Delta DNF}$为等边三角形；④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$时，四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形．其中，正确结论的序号 　　．

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{CF}=3\mathit{DF}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{BF}$相交于点 $G$，则 $\mathit{\Delta AGF}$的面积是　　．

如图，等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4， $\odot C$的半径为 $\sqrt{3}$， $P$为 $\mathit{AB}$边上一动点，过点 $P$作 $\odot C$的切线 $\mathit{PQ}$，切点为 $Q$，则 $\mathit{PQ}$的最小值为　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}$ 垂直于射线 $\mathit{CD}$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{EF}=\mathit{BE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta CBE}$ ；

（2）如图2，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EF}$ 的中点，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{MN}$ 、 $\mathit{PN}$ ．求 $\angle \mathit{PMN}$ 的度数及 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{PM}}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{BC}=\sqrt{2}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta PMN}$ 面积的最大值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $O$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $\mathit{OD}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PF}\perp \mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于 $G$ ，现有以下结论：① $\mathit{AP}=\mathit{PF}$ ；② $\mathit{DE}+\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；③ $\mathit{PB}-\mathit{PD}=\sqrt{2}\mathit{BF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta AEF}}$ 为定值；⑤ $S_{\mathit{四边形}\mathit{PEFG}}=S_{\mathit{\Delta APG}}$ ．以上结论正确的有 　　（填入正确的序号即可）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边的中点，点 $P$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，以 $\mathit{PD}$ 为边在 $\mathit{PD}$ 的下方作等边三角形 $\mathit{PDQ}$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ．则 $\mathit{CQ}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

1

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{3}{2}$

如图，在边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$交于点 $P$，连接 $\mathit{CP}$，则 $\mathit{CP}$的最小值为 　　．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=3$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到△ $A\text{'}\mathit{BC}\text{'}$ ，其中点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ， $C\text{'}$ ．

（1）如图1，当点 $A\text{'}$ 落在 $\mathit{AC}$ 的延长线上时，求 $\mathit{AA}\text{'}$ 的长；

（2）如图2，当点 $C\text{'}$ 落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上时，连接 $\mathit{CC}\text{'}$ ，交 $A\text{'}B$ 于点 $M$ ，求 $\mathit{BM}$ 的长；

（3）如图3，连接 $\mathit{AA}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，直线 $\mathit{CC}\text{'}$ 交 $\mathit{AA}\text{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{DE}$ ．在旋转过程中， $\mathit{DE}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{DE}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，且 $\mathit{AD}=3\mathit{BD}$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并取 $\mathit{CD}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，若 $\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{BED}=45°$ ，且 $\mathit{CD}=6\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEGF}$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 和 $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{DE}$ ， $M$ 是 $\mathit{BF}$ 的中点，连接 $\mathit{AM}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的数量关系是 　　，位置关系是 　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $\mathit{AEGF}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ ，点 $G$ 恰好落在边 $\mathit{AB}$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AM}$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=5\sqrt{3}$ ，点 $P$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动（含 $B$ 、 $C$ 两点），连接 $\mathit{AP}$ ，以点 $A$ 为中心，将线段 $\mathit{AP}$ 逆时针旋转 $60°$ 到 $\mathit{AQ}$ ，连接 $\mathit{DQ}$ ，则线段 $\mathit{DQ}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$5\sqrt{2}$

C．

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

D．

3

研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

（1）阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体 $\mathit{ABCD}-A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ （图 $1)$ ，因为在平面 $\mathit{AA}\text{'}C\text{'}C$ 中， $\mathit{CC}\text{'}//A{A}^{\text{'}}$ ， $\mathit{AA}\text{'}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $A$ ，所以直线 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{AA}\text{'}$ 所成的 $\angle \mathit{BAA}\text{'}$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $\mathit{AB}$ 与 $\mathit{CC}\text{'}$ 所成的角．

解决问题

如图1，已知正方体 $\mathit{ABCD}-A\text{'}B\text{'}C\text{'}{D}^{\text{'}}$ ，求既不相交也不平行的两直线 $\mathit{BA}\text{'}$ 与 $\mathit{AC}$ 所成角的大小．

（2）如图2， $M$ ， $N$ 是正方体相邻两个面上的点；

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　　；

②在所选正确展开图中，若点 $M$ 到 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 的距离分别是2和5，点 $N$ 到 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{BC}$ 的距离分别是4和3， $P$ 是 $\mathit{AB}$ 上一动点，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$ 的最小值．